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1930-02-10

1930年(昭和5年)京都帝國大學工學部-數學[4]

2025.01.21記

[4] 次ノ方程式ニ依ツテアラハサレタル曲線ノ長サヲ求ム．
$y=\dfrac{h}{2}\left(e^{\frac{x}{h}}+e^{-\frac{x}{h}}\right)$
但シ $x$ ハ $-a$ ヨリ $+a$ マデ變化スルモノトス．

本問のテーマ

懸垂線（カテナリー）の長さ

2025.02.06記

[解答]
$y=h\cosh \dfrac{x}{h}$ であるから， $y'=\sinh \dfrac{x}{h}$ となり， $1+(y')^2=\cosh^2\dfrac{x}{h}$
となる．よって求める曲線の長さは
$2\displaystyle\int_0^a \cosh\dfrac{x}{h}\,dx=2h\sinh\dfrac{a}{h}=h\left(e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}}\right)$
となる．

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