https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1930/Igaku

2025.01.21記

[2] 「二定點ヨリノ距離ノ和ガ一定ナル點ノ軌跡ハ楕円ナリ」トノ定義ニ從ヒ　 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （直角坐標）ガ楕円ヲ表ス方程式ナルコトヲ證明セヨ．

2025.02.15記

[解答]
$\mbox{F}(c，0)$ と $\mbox{F}'(-c，0)$ からの距離の和が $2a$ （ $a\gt c\gt 0$ ）なる点 $\mbox{P}(x，y)$ の軌跡について考える．

$\mbox{PF}'=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ ， $\mbox{PF}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ であるから
$\mbox{PF}'{}^2-\mbox{PF}^2=4cx$
となり， $\mbox{PF}'+\mbox{PF}^2=2a$ とから
$\mbox{PF}'{}-\mbox{PF}=\dfrac{2cx}{a}$
が成立する．よって
$\mbox{PF}'=\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\dfrac{cx}{a}$
となる．よって
$(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}$
となり整理して
$\dfrac{(a^2-c^2)x^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2$
となる． $b^2=a^2-c^2$ とおくと
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
が得られる．