https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1929/Kougaku

2025.01.21記

[2] Determine the ration of the depth $h$ to the inner diameter $d$ of an open cylindrical vessel, to make the necessary material minimum, for a given capacity $A$ when the base and the side are of equal thickness $t$ .

[2] 蓋のない円筒形の容器の底面と側面の厚さが $t$ で等しいとき，与えられた容量 $A$ に対して必要な材料を最小とする深さ $h$ の内径 $d$ に対する比を決定せよ．

2025.02.16記

[解答]
$d=2r$ とおくと，容積について $A=\pi r^2 h$ が成立し，材料の体積は $V=\pi (r+t)^2 (h+t)-\pi r^2 h$ $=\pi (r+t)^2 \left(\dfrac{A}{\pi r^2}+t\right)-A$ である．

$\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{dV}{dr}$ $=2(r+t)\left(\dfrac{A}{\pi r^2}+t-(r+t) \dfrac{A}{\pi r^3}\right)$ $=\dfrac{2t(r+t)}{\pi r^3}(\pi r^3-A)$
であるから， $\pi r^3=A$ のときに $\dfrac{dV}{dr}=0$ となり，その前後で符号が負から正へと変化するので極小かつ最小となる．

よって $r=h$ のときに $V$ は最小となり，このとき $\dfrac{h}{d}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}$ となる．