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1924-02-03

1924年(大正13年)京都帝國大學工學部-數學[2]

2025.01.13記

[2] Find the area between one arch of the cycloid $x=a(\theta-\sin\theta)$ , $y=a(1-\cos\theta)$ and its base line.

今だと arch よりも arc の方が適切か．

[2] 擺線 $x=a(\theta-\sin\theta)$ , $y=a(1-\cos\theta)$ の1つの弓状の部分と基線とで囲まれる部分の面積を求めよ．

2025.01.13記

[解答]
$\displaystyle\int_0^{2a\pi} y\, dx$ $=a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} (1-\cos^2\theta)\, d\theta$ $=4a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^4\dfrac{\theta}{2}\, d\theta$ $=8a^2 \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^4 \phi\, d\phi$ $=8a^2\cdot 2\cdot \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=3a^2\pi$
となる．

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