https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1924/Kougaku

2025.01.13記

[1] Find the length of the part of the tangent to the ellipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ interceptal by the $x$ and $y$ axes.

出典の原文ママだが，interceptal という英単語は見当らなかった．「intercept made by the $x$ and $y$ axes」の方が良さげ．

[1] 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の接線が $x$ 軸と $y$ 軸によって切り取られる部分の長さを求めよ．

2025.01.13記
一意に決まらないのだが．

[解答]
楕円上の点 $(a\cos\theta，b\sin\theta)$ における接線 $\dfrac{x\cos\theta}{a}+\dfrac{y\sin\theta}{b}=1$ と軸との交点から $\sqrt{\dfrac{a^2}{\cos^2\theta}+\dfrac{b^2}{\sin^2\theta}}$ となる．

接点を $(p，q)$ とすると $\sqrt{\dfrac{a^4}{p^2}+\dfrac{b^4}{q^2}}$ となる．

この長さの最小値であれば，シュワルツの不等式から
$(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\left(\dfrac{a^2}{\cos^2\theta}+\dfrac{b^2}{\sin^2\theta}\right)\geqq (a+b)^2$
から点 $(a/\sqrt{2}，b/\sqrt{2})$ における接線のとき最小値 $a+b$ をとることがわかる．