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1923年(大正12年)京都帝國大學理學部物理科-數學[3]

2025.01.13記

[3] \displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}0\lt a\lt b.

[3] \displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}0\lt a\lt b を求めよ.

2025.01.17記

[解答]
t=\tan\dfrac{x}{2} とおくと \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt であるから,求める不定積分I とおくと
I=\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}
=\displaystyle\int\dfrac{2}{(a+b)-(b-a)t^2}\,dt
=\dfrac{2}{a-b}\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2-\dfrac{a+b}{b-a}}\,dt
となる.ここで A=\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}} とおくと
I=\dfrac{2}{a-b}\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2-A^2}\,dt=\dfrac{1}{(a-b)A}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t-A}-\dfrac{1}{t+A}\right)\,dt=\dfrac{1}{(a-b)A}\log\left|\dfrac{t-A}{t+A}\right|+(積分定数)
=\dfrac{1}{(a-b)\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}\log\left|\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}-\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}{\tan\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}\right|+(積分定数)
=-\dfrac{1}{\sqrt{b^2-a^2}}\log\left|\dfrac{(b-a)\tan\dfrac{x}{2}-\sqrt{b^2-a^2}}{(b-a)\tan\dfrac{x}{2}+\sqrt{b^2-a^2}}\right|+(積分定数)
となる.

どこまで整理するかは趣味の問題.




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