https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1923/Ributu

2025.01.13記

[3] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}$ ， $0\lt a\lt b$ .

[3] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}$ ， $0\lt a\lt b$ を求めよ．

2025.01.17記

[解答]
$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ であるから，求める不定積分を $I$ とおくと
$I=\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+b\cos x}$
$=\displaystyle\int\dfrac{2}{(a+b)-(b-a)t^2}\,dt$
$=\dfrac{2}{a-b}\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2-\dfrac{a+b}{b-a}}\,dt$
となる．ここで $A=\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}$ とおくと
$I=\dfrac{2}{a-b}\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2-A^2}\,dt$ $=\dfrac{1}{(a-b)A}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t-A}-\dfrac{1}{t+A}\right)\,dt$ $=\dfrac{1}{(a-b)A}\log\left|\dfrac{t-A}{t+A}\right|+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{(a-b)\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}\log\left|\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}-\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}{\tan\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{a+b}{b-a}}}\right|+(積分定数)$
$=-\dfrac{1}{\sqrt{b^2-a^2}}\log\left|\dfrac{(b-a)\tan\dfrac{x}{2}-\sqrt{b^2-a^2}}{(b-a)\tan\dfrac{x}{2}+\sqrt{b^2-a^2}}\right|+(積分定数)$
となる．

どこまで整理するかは趣味の問題．