https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1923/Ributu

2025.01.13記

[2] Find the right circular cone of greatest volume that can be inscribed in a given sphere.

[2] 与えられた球に内接する直円錐のうち最大の体積をもつものを求めよ．

2025.01.17記

[解答]
与えられた球の半径を $r$ とし，その方程式を $x^2+y^2+z^2=r^2$ とする．また直円錐の頂点を $(0，0，r)$ とし，底面の方程式を $z=t$ （ $-r\lt t\lt r$ ）とする．

このとき直円錐の体積は
$\dfrac{1}{3}\pi (r^2-t^2)(r+t)=\dfrac{1}{3}\pi(r-t)(r+t)^2$
であるから，3次関数を4×2の箱に閉じ込めることにより， $t=\dfrac{r}{3}$ のときに極大かつ最大となり，最大値は $\dfrac{32}{81}\pi r^3$ となることがわかる．

答．底面の半径が球の半径の $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 倍，高さが球の半径の $\dfrac{4}{3}$ 倍であるような直円錐が最大の体積をもつ．