https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1923/Ributu

2025.01.13記

[1] Two tangents are drawn from an external point of the ellipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ . Find the length of portion which the two tangents cut from the $x$ -axis.

[1] 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の外側の点から引いた2接線が $x$ 軸から切り取る部分の長さを求めよ．

2025.01.17記
上手に解かないと計算に嵌る．

[解答]
$a，b\gt 0$ としても一般性を失わない．

楕円の外側の点を $(p，q)$ とする．

図形全体を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍すると，点 $\left(p，\dfrac{qa}{b}\right)$
から円 $x^2+y^2=a^2$ に引いた2接線が $x$ 軸から切り取る部分の長さを求めれば良い．2接線それぞれの $x$ 切片を $t_1，t_2$ とすると，これらは
$\dfrac{qa}{b}(x-t)+(t-p)y=0$ ，
すなわち
$qa(x-t)+b(t-p)y=0$ ，
と原点との距離が $a$ となるような $t$ の値となる．よって
$\dfrac{(qat)^2}{(qa)^2+b^2(t-p)^2}=a^2$ ，
すなわち2次方程式
$(b^2-q^2)t^2-2b^2pt+a^2q^2+b^2p^2=0$ ，
の2解が $t_1，t_2$ となる．よって
$(t_1-t_2)^2$ $=4\cdot\dfrac{b^4p^2-(b^2-q^2)(a^2q^2+b^2p^2)}{(b^2-q^2)^2}$ $=\dfrac{4(a^2q^4+b^2p^2q^2-a^2b^2q^2)}{(b^2-q^2)^2}$
が成立し，よって求める長さは
$|t_1-t_2|$ $=\dfrac{2|q| \sqrt{a^2q^2+b^2p^2-a^2b^2}}{|b^2-q^2|}$
となる．