https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1923/Kougaku

2025.01.13記

[3] (a) Calculate the curve length of one arch of a common cycloid, diameter of the rolling circle begin $2a$ .

(b) Calculate the surface area of a paraboloid of revolution which $10$ cm depth and $40$ cm width.

[3] (a) 転円の直径が $2a$ である一般的な擺線の1つの弓形の長さを計算せよ．

(b) 深さ $10$ cm で幅が $40$ cm の回転放物面の表面積を求めよ．

2025.01.14記

[解答]
(a) $x=a(\theta-\sin\theta)$ ， $y=a(1-\cos\theta)$ として
$\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2$ $=a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta$ $=4a^2\cdot\dfrac{1-\cos\theta}{2}=4a^2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$
だから，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\, d\theta$ $=8a$
となる．

(b) $z=k(x^2+y^2)$ （ $x^2+y^2\leqq r^2$ ）
（ $r=20$ ， $k=\dfrac{1}{40}$ ）
として
$S=\displaystyle\int_{x^2+y^2\leqq r^2}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$ $=\displaystyle\int_{x^2+y^2\leqq r^2}\sqrt{1+4k^2r^2}\,rdrd\theta$ $=\displaystyle\int_{x^2+y^2\leqq r^2}\sqrt{1+4k^2r^2}\,rdrd\theta$
$=2\pi \displaystyle\int_{0}^r\sqrt{1+4k^2r^2}\,rdr$
となる．ここで $t=1+4k^2r^2$ とおくと
$S=\dfrac{2\pi}{8k^2} \displaystyle\int_{1}^{1+4k^2r^2} \sqrt{t}\, dt$
$=\dfrac{\pi}{6k^2}\{(1+4k^2r^2)^{3/2}-1\}$
となる． $r=20$ ， $k=\dfrac{1}{40}$ を代入して
$S=\dfrac{800\pi}{3}(2\sqrt{2}-1)$
となる．

(b) 一見変な値に見えて $4k^2r^2=1$ となるような設定だったという訳だ．