https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1923/Kougaku

2025.01.13記

[2] (a) Find the value of $\dfrac{a^{\sin x}-a}{\log\sin x}$ when $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

(b) FInd the value of $\theta$ which makes $\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)}$ maximum.

(d) Change the independent variable from $x$ to $z$ in $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+2x\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{a^2}{x^2}y=0$ when $x=\dfrac{1}{z}$ .

[2] (a) $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \dfrac{a^{\sin x}-a}{\log\sin x}$ を求めよ．但し $a\gt 0$ とする．

(b) $\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)}$ を最大にする $\theta$ の値を求めよ．

(d) $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+2x\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{a^2}{x^2}y=0$ において独立変数を $x$ から $z$ に書き換えよ．但し $x=\dfrac{1}{z}$ とする．

2025.01.13記
(c) は
1949年(昭和24年)東京大学(旧制)農学部-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じ問題．昔は「文字正」という意識で出題していたようであるが，ここでは真面目に解く．

[解答]
(a) $u=\sin x$ とおくと $u\to 1$ であり，
$\dfrac{a^{u}-a}{\log u}$ $=\dfrac{a^{u}-a}{u-1}\cdot\dfrac{u -1}{\log u-\log 1}$ $\to\left.\dfrac{(\log a)a^u}{1/u}\right|_{u=1}$ $=a\log a$
となる．

(b) $\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)}$
$=\dfrac{\sin2\theta}{1+\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-2\theta\right)}$
$=\dfrac{2\sin2\theta}{2-\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta}$
は周期 $\pi$ の関数で $-\dfrac{\pi}{6}\lt \theta\lt \dfrac{5\pi}{6}$ の範囲で考えれば良い．この範囲での逆数は
$\dfrac{1}{\sin 2\theta}-\dfrac{1}{2\tan2\theta}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=:f(\theta)$
であり，
$f'(\theta)=-\dfrac{2\cos 2\theta}{\sin^2 2\theta}+\dfrac{2}{2\tan^2 2\theta\cdot \cos^2 2\theta}$ $=\dfrac{1-2\cos 2\theta}{\sin^2 2\theta}$
が $0$ となるのは $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のときで符号が負から正に変わるので極小かつ最小となる．よってもとの関数は $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ （ $+n\pi$ ， $n$ は整数）のときに最大値 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ をとる．

(ii) $k\neq 0$ のとき， $y=ae^{kx}+be^{-kx}$ とおくと $y'=ke^{kx}(ae^{2kx}-b)=0$ であるから， $y'=0$ となり，その前後で $y'$ の符号が負から正となるためには $a，b\gt 0$ である必要があり，このとき $e^{kx}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ において極小となる．極小値は $2\sqrt{ab}$ となる．また $y$ が定数関数となるのは $a=b=0$ のときであり，このときの最小値は $0$ である．

よって
(I) $k=0$ のとき，最小値 $a+b$ をとる，
(II) $a=b=0$ のとき，最小値 $0$ をとる，
(III) $a，b\gt 0$ のとき，最小値 $2\sqrt{ab}$ をとる，
(IV) それ以外のとき，最小値なし
となる．

(d) $\dfrac{dy}{dz}=y'$ ， $\dfrac{d^2y}{dz^2}=y''$ と書くことにすると，
$\dfrac{dy}{dx}=y'\cdot\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dz}}$ $=-z^2 y'$
だから，
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dz}}$ $=\dfrac{d}{dz}\left(-z^2 y'\right)\cdot (-z^2)$ $=(-2z y'-z^2 y'')\cdot (-z^2)$ $=2z^3 y'+z^4 y''$
となる．よって
$\dfrac{1}{z^2}\cdot(2z^3 y'+z^4 y'')+\dfrac{2}{z}(-z^2 y')+a^2z^2y=0$ ，
すなわち
$z^2\left(\dfrac{d^2y}{dz^2}+a^2y\right)=0$
となるので， $z=\dfrac{1}{x}\neq 0$ として
$\dfrac{d^2y}{dz^2}+a^2y=0$
を得る．