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1922年(大正11年)京都帝國大學工學部-數學[4]

2025.01.13記

[4] Find the value of \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin^2\theta \, d\theta.

[4] \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin^2\theta \, d\theta の値を求めよ．

2025.01.19記

[解答]
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin^2\theta \, d\theta=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\theta-\theta\cos2\theta}{2} \, d\theta=\Bigl[ \dfrac{\theta^2}{4}-\dfrac{\theta\sin 2\theta}{4}-\dfrac{\cos2\theta}{8}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi^2}{16}-0+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac{1}{4}
となる．



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