https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1922/Kougaku

2025.01.13記

[3] Find the radius of curvature of an ellipse (semi major and minor axes $a$ , $b$ and $a\gt b$ ) at the major axis end.

[3] 楕円（長半径と短半径がそれぞれ $a$ と $b$ で $a\gt b$ ）の長軸の端点における曲率半径を求めよ．

2025.01.19記

[解答]
$x=a\cos\theta$ ， $b=\sin\theta$ の $\theta=0$ における曲率半径を求めれば良い．

公式　 $R=\dfrac{\{(x')^2+(y')^2\}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}$ から
$R=\left.\dfrac{(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)^{3/2}}{ab|\cos 2\theta|}\right|_{\theta=0}$ $=\dfrac{b^2}{a}$

$y=f(x)$ や $x=f(y)$ のような曲線の極大点や極小点でしか用いることができないが，次のように解くこともできる．

[解答]
放物線 $y=px^2+qx+r$ （ $p\neq 0$ ）の頂点における曲率半径は $\dfrac{1}{2|p|}$ である．

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ は $(a，0)$ 付近で
$x=a\sqrt{1-\dfrac{y^2}{b^2}}\approx a-\dfrac{a}{2b^2}y^2$
と近似できるので，頂点 $(a，0)$ における曲率半径は $\dfrac{b^2}{a}$ となる．

実際， $y=f(x)$ の曲率半径は $R=\dfrac{\{1+(f')^2\}^{3/2}}{|f''|}$ となるが，極値（ $x=a$ とする）においては
$R=\dfrac{1}{|f''|}$ となり，これと
$f(x)=f(a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2+O((x-a)^3)$ （ $x\to a$ ）
から，頂点における2次近似から曲率半径を求めることができる．