https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1922/Kougaku

2025.01.13記

[2] Find the values of $\theta$ between $0$ and $2\pi$ , satisfying the equation
$\sin2\theta\cos\theta+2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0$ .

[2] 方程式
$\sin2\theta\cos\theta+2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0$
を満たす $0$ と $2\pi$ の間の $\theta$ を求めよ．

2025.01.19記

[解答]
$\sin2\theta\cos\theta+2\sin^2\theta-\sin\theta-1$ $=2\sin\theta\cos^2\theta+2\sin^2\theta-\sin\theta-1$ $=-2\sin^3\theta+2\sin^2\theta+\sin\theta-1$ $=-(\sin\theta-1)(2\sin^2\theta-1)$ $=-2\left(\sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sin\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)(\sin\theta-1)=0$
により， $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}，1，-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから， $0\leqq\theta\lt 2\pi$ （影響はないが問題文からだと等号を含むかどうかは不明なので一般的な一周期としておく）では
$\theta=\dfrac{\pi}{4}，\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{3\pi}{4}，\dfrac{5\pi}{4}，\dfrac{7\pi}{4}$
となる．