https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1919/Kougaku

2025.01.13記

[2] Find the length of arc from $(0，a)$ of the curve $ax=y^2-\dfrac{a^2}{8}\log\dfrac{y}{a}-a^2$ , where $a$ is a real constant.

[2] $a$ を実数の定数とするとき，曲線 $ax=y^2-\dfrac{a^2}{8}\log\dfrac{y}{a}-a^2$ の $(0，a)$ からの弧長を求めよ．

2025.01.20記

[解答]
$a\neq 0$ として良く，
$x=\dfrac{y^2}{a}-\dfrac{a}{8}\log\dfrac{y}{a} -a$
から
$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{2y}{a}-\dfrac{a}{8y}$
となり，
$\sqrt{1+\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2}=\left|\dfrac{2y}{a}+\dfrac{a}{8y}\right|$
であるから，点 $(0，a)$ から点 $(x，y)$ までの弧長 $s$ は

(1) $a\gt 0$ のとき， $y\gt 0$ で

(a) $a\leqq y$ のとき
$s=\displaystyle\int_a^y \left(\dfrac{2y}{a}+\dfrac{a}{8y}\right)\, dy$ $=\dfrac{y^2-a^2}{a}+\dfrac{a}{8}\log \dfrac{y}{a}$

(b) $0\lt y\lt a$ のとき
$s=-\left(\dfrac{y^2-a^2}{a}+\dfrac{a}{8}\log \dfrac{y}{a}\right)$

(2) $a\lt 0$ のとき， $y\lt 0$ で

(a) $a\lt y\lt 0$ のとき
$s=\displaystyle\int_a^y \left(\dfrac{2y}{a}+\dfrac{a}{8y}\right)\, dy$ $=\dfrac{y^2-a^2}{a}+\dfrac{a}{8}\log \dfrac{y}{a}$

(b) $y\leqq a$ のとき
$s=-\left(\dfrac{y^2-a^2}{a}+\dfrac{a}{8}\log \dfrac{y}{a}\right)$

となる．以上から $s=\left|\dfrac{y^2-a^2}{a}+\dfrac{a}{8}\log \dfrac{y}{a}\right|$ となる．