https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1919/Kougaku

2025.01.13記

[1] A straight line is drawn through a focus of an ellipse making a constant angle $\alpha$ with a tangent to it. Find the locus of the point of intersection.

[1] 楕円の接線，その接線と一定の角度 $\alpha$ をなす楕円の焦点を通る直線との交点との軌跡を求めよ．

2025.01.20記
一般の場合は特に綺麗な曲線になる訳ではない． $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ のときは垂足曲線と呼ばれ，本問の場合は
円 $x^2+y^2=a^2$ （楕円の副円(auxiliary circle)）となる．案外，もともとの出題は一定の角度 $R$ （直角）とあったものが，誤植として $\alpha$ となったのかも知れない．

[解答]
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）の焦点の1つは $c=\sqrt{a^2-b^2}$ とすると $(c，0)$ となる．

楕円の接線を $(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=r$ とすると
$\dfrac{a^2\cos\theta}{r}\cdot\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{b^2\sin\theta}{r}\cdot\dfrac{x}{b^2}=1$
から接点は $\left(\dfrac{a^2\cos\theta}{r}，\dfrac{b^2\sin\theta}{r}\right)$ となるので，接点が楕円上にあることから，
$a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta=r^2$
が成立するので楕円の接線は
$(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}$
である．これと焦点を通る直線
$\{\cos(\theta+\alpha)\}(x-c)+\{\sin(\theta+\alpha)\}y=0$ ，
つまり
$\cos\theta\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\} =\sin \theta\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}$
の交点の軌跡を求めれば良く， $\theta$ を消去すれば良い．

$(x^2-a^2)\cos^2\theta+2xy\cos\theta\sin\theta+(y^2-b^2)\sin^2\theta=0$ ，
$\cos\theta:\sin\theta=\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}:\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\}$
から
$(x^2-a^2)\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}^2$ $+2xy\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\}$ $+(y^2-b^2)\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\}^2=0$
となる．

なお，
$(x^2-a^2)\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}^2$ $+2xy\{(x-c)\sin\alpha-y\cos\alpha\}\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\}$ $+(y^2-b^2)\{(x-c)\cos\alpha+y\sin\alpha\}^2=0$
に $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すると
$(x^2-a^2)(x-c)^2+2xy^2(x-c)+(y^2-b^2)y^2$ $=(x^2+y^2-a^2)\{(x-c)^2+y^2\}=0$
となる（孤立点 $(c，0)$ が登場する）．

つまり，

楕円の接線，その接線と垂直な楕円の焦点を通る直線との交点との軌跡を求めよ．

の答は「楕円の副円」である．

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）の焦点の1つは $c=\sqrt{a^2-b^2}$ とすると $(c，0)$ となる．

楕円の接線を $(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=r$ とすると
$\dfrac{a^2\cos\theta}{r}\cdot\dfrac{x}{a^2}+\dfrac{b^2\sin\theta}{r}\cdot\dfrac{x}{b^2}=1$
から接点は $\left(\dfrac{a^2\cos\theta}{r}，\dfrac{b^2\sin\theta}{r}\right)$ となるので，接点が楕円上にあることから，
$a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta=r^2$
が成立するので楕円の接線は
$x\cos\theta+y\sin\theta=\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}$
である．これと焦点を通る直線
$x\sin\theta-y\cos\theta=c\sin\theta$ ，
の交点の軌跡を求めれば良く， $\theta$ を消去すれば良い．2乗和を考えて
$x^2+y^2=a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta+c^2\sin^2\theta=a^2$
となり，求める軌跡は円 $x^2+y^2=a^2$ となる．