https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1918/Kougaku

2025.01.13記

[3] Trace the curve $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ , and find its whole area, and also the curvature at the origin.

出典だと whole area が whale area になっていた．

[3] 曲線 $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ を追跡し，曲線によって囲まれる部分の面積および原点における曲率を求めよ．

本問のテーマ

では $r^2=a^2\cos2\theta$ とあるが， $r^2=2a^2\cos2\theta$ の間違いで Wikipedia の記述は $r^2=2a^2\cos2\theta$ に対するものとなっている（2025.01.21時点）．

2025.01.21記

[解答]
$x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ を代入すると
$r^4=r^2\cos2\theta$
となる． $r=0$ （原点）は $r^2=\cos2\theta$ に含まれるので，与えられた曲線の極方程式は
$r^2=\cos2\theta$
である．この曲線は $x$ 軸対称， $y$ 軸対称，原点対称であるから，第一象限の部分だけ考えれば， $(r，\theta)=\left(0，1\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{12}，\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{8}，\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)$
を繋げば良く，よって求める曲線の概形は次図．

囲まれる面積は，
$4\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ $=2\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos 2\theta\,d\theta$ $=1$
となる．

原点は変曲点であるから，その曲率は $0$ である．

1930年(昭和5年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR