https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1918/Kougaku

2025.01.13記

[2] Trace the curve $x=y\displaystyle\int_0^x\dfrac{dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ and find the asymptotes, if any.

[2] 曲線 $x=y\displaystyle\int_0^x\dfrac{dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ を追跡し，漸近線があれば求めよ．

2025.01.21記

[解答]
$x=\tan t$ とおくと $dx=\dfrac{dt}{\cos^2 t}$ であり，
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ $=\displaystyle\int \cos t\, dt=\sin t+(積分定数)$ $=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+(積分定数)$
であるから，与えられた曲線は
$x=\dfrac{yx}{\sqrt{x^2+1}}$
となり，
$x=0$ または双曲線 $y^2-x^2=1$ （ $y\gt 0$ ）
となる（図示略）．

漸近線は $y=\pm x$ である．