https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1918/Kougaku

2025.01.13記

[1] Find the cartecian equation to a normal to a parabola, $y^2=4x$ , the angular coefficient of the normal begin given. How many real normals can be drawn to the above parabora from the point $(1，1)$ .

angular coefficient は直線の傾きで slope とも言う．

[1] 直交座標系において，与えられた傾きをもつ放物線 $y^2=4x$ の法線の方程式を求めよ．またこの放物線に点 $(1，1)$ から何本の法線を引くことができるか．

2025.01.21記

[解答]
$y^2=4x$ 上の点 $\left(\dfrac{t^2}{4}，t\right)$ における接線の方程式は
$x-\dfrac{t^2}{4}=\dfrac{t}{2}(y-t)$
であるから，この点における法線の方程式は
$-\dfrac{t}{2}\left(x-\dfrac{t^2}{4}\right)=y-t$
となる．これを直線の傾き $m=-\dfrac{t}{2}$ を用いて書き直すと
$m\left(x-m^2\right)=y+2m$
すなわち
$y=mx-m^3-2m$
となる．

この法線が点 $(1，1)$ を通るとき，
$1=m-m^3-2m$ ，
すなわち
$f(m)=m^3+m+1=0$
が成立するが，任意の実数 $m$ について
$f'(m)=3m^2+1\gt 0$
であるから， $f(m)$ は値域が $(-\infty，\infty)$ である単調増加な連続関数となり， $f(m)=0$ となる実数 $m$ は1つだけである．よって点 $(1，1)$ から引ける法線は1本である．