https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1917/Ribake

2025.01.13記

[2] Evaluate the integral: $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ .

[2] 不定積分 $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ を求めよ．

2025.01.18記

[大人の解答]
$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$
$=\mbox{Im}\left( \displaystyle\int e^{(1+i)x}\, dx\right)$ $=\mbox{Im}\left( \dfrac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\right)+(積分定数)$ $=\mbox{Im}\left( \dfrac{1-i}{2}e^{x}(\cos x+i\sin x)\right)+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+(積分定数)$
となる．

$1+i=\sqrt{2}e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}$ であるから，
$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} e^x\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+(積分定数)$
となる．

[解答]
$(e^x\sin x)'=e^x\sin x+e^x\cos x$ ， $(e^x\cos x)'=e^x\cos x-e^x\sin x$
から
$(e^x\sin x-e^x\cos x)'=2e^x \sin x$
となるので，
$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ $=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+(積分定数)$
となる．