https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1917/Ribake

2025.01.13記

[1] Find the Limit $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x^k}$ ， $k\gt 0$ .

$\displaystyle \mathop{L}_{x=+\infty}$ となっていたが，当時の表記がどうだったかは未確認．

[1] 極限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x^k}$ ， $k\gt 0$ を求めよ．

2025.01.18記

[解答]
上に凸な $y=\log x$ の $x=1$ における接線との上下関係から
$\log x\lt x-1 \lt x$
が成立する． $x$ を $\sqrt{x}$ に置き換えて
$\dfrac{1}{2}\log x = \log \sqrt{x} \lt \sqrt{x}$ ，
つまり
$\log x \lt 2\sqrt{x}$
が成立し， $x\gt 1$ で
$0\lt \dfrac{\log x}{x} \lt \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
が成立するので，
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$
とはさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$
となり，よって
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x^k}$ $=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{\log x^k}{x^k}=0$
となる．