https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1914/Kougaku

2025.01.13記

[2] Evaluate $\displaystyle\int_0^{2a} x^2\sqrt{2ax-x^2}\,dx$ .

[2] $\displaystyle\int_0^{2a} x^2\sqrt{2ax-x^2}\,dx$ を求めよ．

本問のテーマ

ベータ関数
ガンマ関数

2025.01.21記

[解答]
$I=\displaystyle\int_0^{2a} x^2\sqrt{2ax-x^2}\,dx$ $=\displaystyle\int_0^{2a} x^2\sqrt{a^2-(x-a)^2}\,dx$
において $x=a+a\cos\theta$ と置換すると
$I=\displaystyle\int_{\pi}^{0} a^2(1+\cos\theta)^2 \cdot a\sin\theta\cdot (-a\sin\theta)\, d\theta$ $=a^4 \displaystyle\int_0^{\pi} (1+\cos\theta)^2(1-\cos^2\theta)\, d\theta$ $=a^4 \displaystyle\int_0^{\pi} (1+\cos\theta)^3(1-\cos\theta)\, d\theta$ $=16a^4 \displaystyle\int_0^{\pi} \cos^6\dfrac{\theta}{2}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\, d\theta$
となる． $\theta=2\varphi$ と置換すると
$I=16a^4\cdot 2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^6\varphi\sin^2\varphi\, d\varphi$ $=16a^4 B\left(\dfrac{7}{2}，\dfrac{3}{2}\right)$ $=16a^4 \cdot \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{7}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)}{\Gamma(5)}$ $=16a^4\cdot \dfrac{\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}}{24}$ $=\dfrac{5}{8}\pi a^4$
となる．