https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Keio/2012/Igaku

2024.10.06記

[4] (1) $0\leqq\alpha\lt\beta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ かつ $R\gt 0$ とする．極座標 $(r，\theta)$ に関する条件 $0\leqq r\leqq R$ ， $\alpha\leqq\theta\leqq\beta$ により定まる図形を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を $T$ とする． $T$ を $\alpha$ ， $\beta$ ， $R$ を用いた式で表すと $T=\fbox{（あ）}$ である．

(2) 極方程式 $r=f(\theta)$ （ $0\leqq\theta\leqq\alpha$ ）で表される曲線 $C$ と， $\theta=\alpha$ で表される直線 $l$ および $x$ 軸の正の部分で囲まれた図形を $S$ とする．ただし $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ とし，関数 $f(\theta)$ は連続かつ $f(\theta)\gt 0$ をみたし， $0\leqq\theta\leqq\alpha$ において増加または減少または定数とする． $S$ を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を $V(\alpha)$ とすると $\dfrac{d}{d\alpha}V(\alpha)=\mbox{（い）}$ であり，したがって $V(\alpha)=\mbox{（う）}$ である．また $S$ を直線 $l$ のまわりに回転させて得られる立体の体積を $W(\alpha)$ とすると $W(\alpha)=\mbox{（え）}$ である．

(3) (2) において $f(\theta)=\sqrt[3]{\cos\theta}$ とするとき $V\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ ， $W\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ の値を求めると $V\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\mbox{（お）}$ ， $W\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\mbox{（か）}$ である．

本問のテーマ

極方程式の回転体(リンク)

2024.10.06記
公式を導けという問題なので公式を使わない．

[解答]
(1) $p=R\cos\beta$ ， $q=R\cos\alpha$ とおくと
$T=\dfrac{\pi}{3}p(R^2-p^2)+\displaystyle\int_p^q \pi (R^2-x^2)\,dx-\dfrac{\pi}{3}q(R^2-q^2)$ $=\dfrac{\pi}{3}p(R^2-p^2)+\pi R^2(q-p) -\dfrac{\pi}{3}(q^3-p^3)$ $=\dfrac{2\pi}{3}R^2(q-p)$ $=\dfrac{2\pi}{3}R^3(\cos\alpha-\cos\beta)$
である．

(2) $\alpha\leqq \theta\leqq \alpha+\Delta\alpha$ における $f(\theta)$ の最大値を $R_M$ ，最小値を $R_m$ とおくと，(1) により
$\dfrac{2\pi}{3}R_m^3(\cos\alpha-\cos(\alpha+\Delta\alpha))\leqq V(\alpha+\Delta\alpha)-V(\alpha)\leqq \dfrac{2\pi}{3}R_M^3(\cos\alpha-\cos(\alpha+\Delta\alpha))$
が成立する．よって
$\dfrac{2\pi}{3}R_m^3\cdot\dfrac{\cos\alpha-\cos(\alpha+\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\leqq \dfrac{V(\alpha+\Delta\alpha)-V(\alpha)}{\Delta\alpha}\leqq \dfrac{2\pi}{3}R_M^3\dfrac{\cos\alpha-\cos(\alpha+\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}$
となり， $\Delta\alpha\to 0$ で $R_M\to f(\alpha)$ ， $R_m\to f(\alpha)$ だから
$\dfrac{2\pi}{3}\{f(\alpha)\}^3\sin\alpha\leqq \dfrac{d}{d\alpha}V(\alpha)\leqq \dfrac{2\pi}{3}\{f(\alpha)\}^3\sin\alpha$
となり，
$\dfrac{d}{d\alpha}V(\alpha)=\dfrac{2\pi}{3}\{f(\alpha)\}^3\sin\alpha$
となる．よって
$V(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\dfrac{2\pi}{3}\{f(\theta)\}^3\sin\theta\,d\theta$
である．

また，極座標で $(r，\theta)\mapsto(r，\alpha-\theta)$ の変換を考えれば
$W(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\dfrac{2\pi}{3}\{f(\alpha-\theta)\}^3\sin\theta\,d\theta$
である．

(3) $V\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{2\pi}{3}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\dfrac{\pi}{3}\Bigl[\sin^2\theta\Bigr]_0^{\pi/4}=\dfrac{\pi}{6}$ ，
$W\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{2\pi}{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)\sin\theta\,d\theta$ $=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{3}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)\,d\theta$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}V\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ $+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{6}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(1-\cos2\theta)\,d\theta$ $=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{12}+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{6}\left\{\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\right\}$ $=\dfrac{\sqrt{2}\pi^2}{24}$
である．