https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/KansaiIdai/2022/Kouki

2025.04.19記

[4] $xy$ 平面上に，点 $\mbox{A}(1，0)$ をとる．原点を中心とする半径 $1$ の円に内接する正八角形の頂点を反時計回りに $\rm A，B，C，D，E，F，G，H$ とする．頂点 $\rm A，B，C$ の $3$ 点を通る放物線を $P_1$ ，頂点 $\rm A，B，D$ の $3$ 点を通る放物線を $P_2$ とする．この問題でいう放物線とは，その軸が $y$ 軸に平行なものとするとき，以下の設問に答えよ．なお，各設問の答えは解答用紙の指定欄に記入し，左の枠内には答えの導出過程を簡潔に記入すること．

(1) $P_1$ の方程式を求めよ．

(2) $P_1$ 上に，正八角形の $\rm A，B，C$ 以外の頂点は存在するか．存在するならば，その頂点を求めよ．

(3) $P_2$ の方程式を求めよ．

(4) $P_2$ 上に，正八角形の $\rm A，B，D$ 以外の頂点は存在するか．存在するならば，その頂点を求めよ．

(5) この正八角形の頂点から異なる $4$ 点を無作為に選んだときに，この $4$ 点が $1$ つの放物線上にある確率を求めよ．

本問のテーマ

円と放物線が4点で交わるとき

2025.04.19記
本問の背景については
2022年(令和4年)立命館大学2月2日-理系数学[2] （URL未確定）
を参照のこと．

2025.04.19記

[大人の解答]
放物線 $y=ax^2+bx+c$ （ $a\neq 0$ ）と $x^2+y^2=1$ が相異なる4つの交点を持つ場合について考える．その $x$ 座標を $x_1，x_2，x_3，x_4$ とすると，これらは $x^2+(ax^2+bx+c)^2-1=a^2x^4+2abx^3+(b^2+2ac+1)x^2+2bcx+c^2-1=0$ の解であるから解と係数の関係から $x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{2b}{a}$ が成立する．ここで放物線上の2点 $(x_1，ax_1^2+bx_1+c)$ ， $(x_2，ax_2^2+bx_2+c)$ を結ぶ直線の傾きは $a(x_1+x_2)+b$ であるから，この2点を結ぶ直線の傾きと残りの2点を結ぶ直線の傾きの和は
$a(x_1+x_2)+b+a(x_3+x_4)+b$ $=a(x_1+x_2+x_3+x_4) +2b=0$
となる．

ここで同じ $x$ 座標を通る放物線は存在しない…(★)ことに注意する．

(2)(4) 直線 $\rm AB$ の傾きとの和が $0$ となる傾きをもつ正八角形の2頂点を結ぶ直線は
直線 $\rm AH，BG，CF，DE$ であり，(★)により直線 $\rm CF，DE$ が適する．よって(2)の答えは $\rm F$ ，(3)の答えは $\rm E$ に限る．

(5) 正八角形の2頂点を結ぶ $y$ 軸に平行でない直線の傾きは $m=\sqrt{2}+1$ として $0，\pm\dfrac{1}{m}，\pm 1，\pm m$ である．
四角形の向かい合う2組の辺および対角線は全て傾きの和が0という条件を満たす2直線の組であり，それぞれの傾きは異なるので絶対値が3種類の傾きをもつ．

(i) 傾きの絶対値が $0$ を含むもの：
線分 $\rm BD$ ， $\rm AE$ ， $\rm FH$ のうち2つを含む四角形であり，それは $\rm BDEA，AEFH$ の2つに限る．

(ii) 傾きの絶対値が $0$ を含まないもの：
四角形と対角線の6本の線分の傾きは $\pm\dfrac{1}{m}，\pm 1，\pm m$ の6種類であり2辺の傾きの間に対角線の傾きがあることから
「対角線の傾きは $\pm 1$ 」
となる．(★)から対角線の組は $\rm \{AC，BF\}$ ， $\rm \{HD，AG\}$ ， $\rm \{HD，CE\}$ ， $\rm \{GE，BF\}$ の4種類に限る．

(i)(ii) より全部で6種類であるから確率は $\dfrac{6}{{}_8\mbox{C}_4}=\dfrac{3}{35}$ となる．

結局，(2)の放物線を $x$ 軸， $y$ 軸，原点について対称移動して得られる4つの放物線と，（ $y$ 軸対称な）(4)の放物線を $x$ 軸について対称移動して得られる2つの放物線とを合わせた6つの放物線だけが題意を満たす．

[解答]
(1) $\mbox{A}(1，0)$ と $\mbox{C}(0，1)$ を通る放物線は $y=k_1x(x-1)-x+1$ と書くことができ，これが $\mbox{B}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を通ることから $k_1=-2$ となり $y=-2x^2+x+1$ となる．

(2) $\rm AB$ の傾きとの和が $0$ で $\rm C$ を通る直線は $\rm C$ 以外に $\rm F$ のみを通るので $P_1$ 上に，正八角形の $\rm A，B，C$ 以外の頂点は存在し，それは $\rm F$ に限る．

(3) $\mbox{B}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ と $\mbox{D}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を通る放物線は $y=k_2\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ と書くことができ，これが $\mbox{A}(1，0)$ を通ることから $k_2=-\sqrt{2}$ となり $y=-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}$ である．

(4) $\rm AB$ の傾きとの和が $0$ で $\rm D$ を通る直線は $\rm C$ 以外に $\rm E$ のみを通るので $P_1$ 上に，正八角形の $\rm A，B，C$ 以外の頂点は存在し，それは $\rm E$ に限る．

(5) 8点の $x$ 座標は $0，\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\pm1$ の5種類であり，そこから4種類の $x$ 座標が選ばれる．

(i) $x$ 座標が $-1$ でない4点を選ぶとき(2)とそれを $x$ 軸で折り返したものの2通り

(ii) $x$ 座標が $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ でない4点を選ぶとき $\rm A，E$ を通るので $y$ 軸対称の放物線となるので $x$ 座標が $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ なる点を通れば必ず $x$ 座標が $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ なる点を通るので条件を満たすものは存在せず0通り

(iii) $x$ 座標が $0$ でない4点を選ぶとき(4)とそれを $x$ 軸で折り返したものの2通り

(iv) $x$ 座標が $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ でない4点を選ぶとき (ii) と同様に0通り

(v) $x$ 座標が $1$ でない4点を選ぶとき (i)の2つを $y$ 軸で折り返したものの2通り

の合計6通りだから求める確率は $\dfrac{6}{{}_8\mbox{C}_4}=\dfrac{3}{35}$ となる．