https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Hitotsubashi/2023/Sougou

2025.02.15記

問題は面倒で、おそらくもうすぐ消える
juken.hit-u.ac.jp

本問のテーマ

QQプロット

2025.02.15記
出題意図に「QQプロット」と書いてある．

[解答]
問1 a. 正しい．

正規分布の確率密度関数を $f$ （ $f$ は非負）とすると
$\displaystyle\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\, dx=\dfrac{1}{2023}\gt 0$
であるから $x_i\lt x_{i+1}$ が $i=1，…，2021$ で成立するので数列
$\{x_i\}$ は単調増加となり正しい．

b. 標準正規分布は縦軸対称なので正しい．

$P(X\leqq x_{i})=P(X\geqq -x_{i})=1-P(X\leqq -x_{i})$
が成立する一方， $P(X\leqq x_{i})=1-\dfrac{2023-i}{2023}=1-P(X\leqq x_{2023-i})$ でもあるから $-x_i=x_{2023-i}$ である．

c. 分布の真ん中に近いほど $x_{i+1}-x_i$ の幅が狭くなるので正しくない．

平均値の定理から
$x_2-x_1=\dfrac{1}{2023 f(c_1)}$ （ $x_1\lt c_1\lt x_2$ ），
$x_3-x_2=\dfrac{1}{2023 f(c_2)}$ （ $x_2\lt c_2\lt x_3$ ）
なる $c_1，c_2$ が存在する． $f(x)$ は $x\leqq x_{1011}$ の範囲で単調増加であるから $(0\lt) f(c_1)\lt f(x_2)\lt f(c_2)$ となり
$x_2-x_1\gt x_3-x_2$ となる．

d. 標準正規分布は縦軸対称なので正しい．

$\dfrac{i}{2023}=P(-X\leqq x’_{i})=P(X\geqq -x’_{i})=1-P(X\leqq -x’_{i})$ が成立するので
$P(X\leqq -x’_{i})=\dfrac{2023-i}{2023}$ となり $-x'_i=x_i$ である．

よって正しいのは a.b.d.

問2 十分多くの標本が得られれば母集団分布をほぼ再現するので，2022個のデータから作られるヒストグラムは標準正規分布とほぼ同じ形状となるので $z_i≒x_i$ が成立する．よって $z=x$ 上にほぼ一直線上に並ぶ．

問3 平均1，分散1の正規分布に従う確率変数 $Z$ と標準正規分布に従う確率変数 $X$ の間には $Z=X+1$ という関係がある．よって問2と同様に考えると $z_i≒x_i+1$ が成立する．よって $z=x+1$ 上にほぼ一直線上に並ぶ．

問3 データがほぼ $y=x$ 上に分布しており奇関数に近いことから，ほぼ標準正規分布に従っていることがわかる．ただデータの左右の $y=x$ からの離れ具合が左側で直線よりも下にくることから正規分布よりも裾が広い分布であることがわかる．

2025.02.19記
問3の補足をしておくと，図1の例えば右上の5番目のデータからおおまかに $x=2.8$ と $y=3.7$ が対応している（端のデータは誤差が大きい傾向があるので点が繋って見える範囲の端の方のデータを使う）． $Y$ の p.d.f. を $g(y)$ とおくと $\displaystyle\int_0^{2.8} f(x)\,dx=\displaystyle\int_0^{3.7} g(y)\,dy$ ，すなわち $P(2.8\leqq X)=P(3.7\leqq Y)$ であることを示しており，直観的に言えば，テスト $X$ で偏差値が78以上の人数とテスト $Y$ で偏差値が87以上の人数が大体同じであることを表している．つまり $Y$ の分布は標準正規分布に比べて例外値が出易い分布であり，裾が広い分布であることがわかる．