https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Hitotsubashi/1968/05

2026.02.23.23:01:40記

[5] $a，b，c$ を $3$ 辺とする $3$ 角形がある．この $3$ 角形の面積を $2$ 等分する線分の長さの最小値は， $\sqrt{2(s-a)(s-b)}$ となることを証明せよ．ただし $a\geqq b\geqq c$ ， $a+b+c=2s$ とする．

本問のテーマ

双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積
（ヘロンの公式）

2026.02.23.23:01:40記
京大の出題の翌年での出題．1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR ではなく，答を知っている体で答案を書いてみます．

[解答]
$\mbox{AB}=c$ ， $\mbox{BC}=a$ ， $\mbox{CA}=b$ となるように頂点に名前をつける．また三角形の面積を二等分する線分の両端を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ とする．

(i) 線分の両端 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がそれぞれ $\mbox{CB}$ ， $\mbox{CA}$ 上にあるとし， $\mbox{CP}=p$ ， $\mbox{CQ}=q$ とする．

余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ $=p^2+q^2-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}$
$=(p-q)^2+2pq-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}$ $=(p-q)^2+ab-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}$
$=(p-q)^2+\dfrac{c^2-(a-b)^2}{2}$ $=(p-q)^2+2(s-a)(s-b)$
$\geqq 2(s-a)(s-b)$
が成立する．ここで等号成立は $p=q=\sqrt{\dfrac{ab}{2}}$ の場合であるが， $\triangle\mbox{ABC}$ の成立条件から $a\lt b+c\lt 2b$ となり $p=q=\sqrt{\dfrac{ab}{2}}\lt\sqrt{\dfrac{a\cdot 2b}{2}}=b(\lt a)$ が成立するので確かに $\mbox{P}，\mbox{Q}$ が線分 $\mbox{CB}$ ， $\mbox{CA}$ 上にある．

(ii) 線分の両端 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がそれぞれ $\mbox{AC}$ ， $\mbox{AB}$ 上にあるとき $\mbox{PQ}^2\geqq 2(s-b)(s-c)$ と評価できるが，この右辺は $2(s-b)(s-c)\geqq 2(s-a)(s-b)$ を満たす．

(iii) 線分の両端 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がそれぞれ $\mbox{BA}$ ， $\mbox{BC}$ 上にあるとき $\mbox{PQ}^2\geqq 2(s-a)(s-c)$ と評価できるが，この右辺は $2(s-a)(s-c)\geqq 2(s-a)(s-b)$ を満たす．

(i)〜(iii) により求める最小値は $\sqrt{2(s-a)(s-c)}$ となる．

1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2005年(平成17年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
ヘロンの公式の変な証明 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．