https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Rikei

2026.03.18.記

[5] さいころ $1$ 個を $3$ 回連続して投げ， $1$ 回目に出た目を $a$ ， $2$ 回目に出た目を $b$ ， $3$ 回目に出た目を $c$ とする．このとき， $a$ ， $b$ ， $c$ のなかで最大の数を $m$ とおき， $x=\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}$ とおく．

(1) $a=b=c$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(2) $m=6$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(3) $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

2026.03.20.18:45:56記
最大値が $m$ となるのは $m^3-(m-1)^3$ 通りというのは有名です．

[解答]
(1) $a=b=c$ により $x=\dfrac{3}{a}$ であるから， $a=b=c=1，3$ の $2$ 通りとなるので求める確率は $\dfrac{2}{6^3}=\dfrac{1}{108}$ となる．

(2) $c=6$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+6)^2}{18ab}$ が整数であるから， $(a+b+6)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 12$ ）が $6$ の倍数でなければならないが， $a+b=12$ ，すなわち $a=b=c=6$ のときは(1)より不適．よって $a+b=6$ である．

このとき $x=\dfrac{144}{18ab}=\dfrac{8}{ab}$ であるから， $\{a，b\}=\{2，4\}$ のとき $x=1$ となり適する．よって結局，求める場合は $\{a，b，c\}=\{2，4，6\}$ の $6$ 通りとなるので求める確率は $\dfrac{6}{6^3}=\dfrac{1}{36}$ となる．

(3)(i) $m=4$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=4$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+4)^2}{12ab}$ が整数であるから， $(a+b+4)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 8$ ）が $6$ で割って $2$ 余る必要があるが， $a+b=8$ ，すなわち $a=b=c=4$ のときは(1)より不適．よって $a+b=2$ ，つまり $a=b=1$ でなければならないが，このとき $x=\dfrac{6^2}{18}=2$ より適する．よって結局，求める場合は $\{a，b，c\}=\{1，1，4\}$ の $3$ 通りとなる．

(ii) $m=2$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=2$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+2)^2}{6ab}$ が整数であるから， $(a+b+2)^2$ が $6$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 4$ ）が $6$ で割って $4$ 余る必要があるが， $a+b=4$ ，すなわち $a=b=c=2$ のときは(1)より不適．よってこの場合に $x$ は整数とならない．

以上と(2)から， $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数であるのは $9$ 通りであり， $m$ が偶数となるのは $(6^3-5^3)+(4^4-3^3)+(2^3-1^3)=135$ 通りであるから，求める条件つき確率は $\dfrac{9}{135}=\dfrac{1}{15}$ となる．

他の場合も考えると次のようになります．

$m=5$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=5$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+5)^2}{15ab}$ が整数であるから， $(a+b+5)^2$ が $15$ の倍数，すなわち $a+b=10$ から $a=b=c=5$ となるが(1)より不適．

$m=3$ であって， $x$ が整数となる場合について考える．
$c=3$ の場合について考える．このとき $x=\dfrac{(a+b+3)^2}{9ab}$ が整数であるから， $(a+b+3)^2$ が $9$ の倍数，すなわち $a+b$ （ $\leqq 6$ ）が $3$ の倍数． $a=b=c=3$ のときは(1)より適する． $a+b=3$ のときは $x=\dfrac{6^2}{18}=2$ より適する．