https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Rikei

2026.03.18.記

[4] 実数 $x$ に対して $f(x)=e^{-x}\cos x$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のとき，不等式 $1-x\leqq f(x)\leqq 1$ が成り立つことを示せ．

(2) $0\lt a\leqq\dfrac{\pi}{2}$ をみたす実数 $a$ に対して
$I(a)=\displaystyle\int_0^a\dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2}\, dx$
とするとき， $\displaystyle\lim_{a\to+0} I(a)$ を求めよ．

本問のテーマ

ディラックのデルタ関数（と言えばそうなのですが）

2026.03.20.17:59:30記
$f(x)\leqq e^0\cdot 1=1$ は簡単にわかりますが $f(x)\geqq 1-x$ は真面目に考えます． $f(x)=(1-x+…)\left(1-\dfrac{x^2}{2}+…\right)=1-x+…$ とマクローリン展開できます．

[解答]
(1) $f(x)\leqq e^0\cdot 1=1$ は成立する．
$g(x)=1-x-f(x)$ とおくと， $g'(x)=1-e^x(\sin x+\cos x)$ ， $g''(x)=2e^x\sin x$ である．
$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ で $g''(x)\gt 0$ と $g''(0)=0$ から $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ で $g'(x)\gt 0$ であり，これと $g(0)=0$ から
$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $g(x)\geqq 0$ となり， $1-x\leqq f(x)\leqq 1$ が成立する．

(1) $\displaystyle\int_0^a\dfrac{1}{x^2+a^2}\, dx=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2+1}\, dx$ $=\dfrac{\pi}{4a}$ ，
$\displaystyle\int_0^a\dfrac{x}{x^2+a^2}\, dx=\dfrac{1}{2}\Bigl[\log (x^2+a^2)\Bigr]_0^a$ $=\dfrac{1}{2}\log 2$ ，
$\displaystyle\int_0^a\dfrac{x^2}{x^2+a^2}\, dx=a-a^2\cdot\dfrac{\pi}{4a}=\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)a$
であり， $0\leqq x\leqq a$ で $\dfrac{x+a}{x^2+a^2}\gt 0$ であるから
$\displaystyle\int_0^a\dfrac{x+a-x^2-ax}{x^2+a^2}\, dx$ $\leqq I(a)$ $\leqq \displaystyle\int_0^a\dfrac{x+a}{x^2+a^2}\, dx$
となり，
$\dfrac{1}{2}\log 2+\dfrac{\pi}{4}-\left(1-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\log 2\right)a$ $\leqq I(a)$ $\leqq \dfrac{1}{2}\log 2+\dfrac{\pi}{4}$
が成立する．よってはさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{a\to+0} I(a)$ $=\dfrac{1}{2}\log 2+\dfrac{\pi}{4}$
となる．

ディラックのデルタ関数の表現の $1$ つとして $\delta(x)=\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{1}{\pi}\dfrac{a}{x^2+a^2}$ というものがあります．デルタ関数の性質から一般に， $\displaystyle\lim_{a\to+0}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{a}{x^2+a^2}F(x)\, dx$ $=\pi F(0)$ が成立し， $\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{a}{x^2+a^2}\, dx}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{a}{x^2+a^2}\, dx}$ $=\dfrac{1}{4}$ から， $\displaystyle\lim_{a\to+0}\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{a}{x^2+a^2}F(x)\, dx$ $=\dfrac{\pi}{4} F(0)$ となることには納得がいきます．

$\displaystyle\lim_{a\to+0}\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x}{x^2+a^2}F(x)\, dx$ $=\dfrac{\log 2}{2}F'(0)$ が成立していますが，これはデルタ関数の近似表現に依存するようで良くわかりませんでした．