https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Rikei

2026.03.18.記

[3] $a$ を実数とし，複素数 $z$ に対して
$f(z)=\dfrac{(1-ai)z+ (1+ ai)\overline{z}}{2}$
とする．ただし， $i$ は虚数単位， $\overline{z}$ は $z$ と共役な複素数である．

(1) $f(z)$ は実数であることを示せ．

(2) 実数 $a$ に対して， $|z|=1$ かつ
$f(z) \{f(z) - f(i) - 2\} =-2f(i)$
となるような複素数 $z$ の個数を $N(a)$ とする． $N(a)$ を求めよ．

2026.03.20.13:50:59記
(1)は「 $\overline{f(z)}=\dfrac{\overline{(1-ai)}\overline{z}+\overline{ (1+ ai)}z}{2}$ $=f(z)$ であるから， $f(z)$ は実数である」とするのが素直ですが， $\mbox{Re}(z)$ と $\mbox{Im}(z)$ が見えるようにしてみます．結局は $z=x+yi$ と置くことになるので最初から $z=x+yi$ と置けば良いです．

[解答]
(1) $f(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}+a\cdot \dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ $=\mbox{Re}(z)+a\mbox{Im}(z)$ であるから実数である．

(2) $f(i)=a$ により $f(z) \{f(z) - a - 2\} =-2a$ ，つまり $\{f(z)-a\}\{f(z)-2\}=0$ が成立し， $f(z)=a，2$ となる．
$z=x+yi$ （ $x，y$ は実数とおくと） $x^2+y^2=1$ かつ「 $x+ay=a$ または $x+ay=2$ 」となる $(x，y)$ の個数を求めれば良く，
$x+ay=X$ ， $ax-y=Y$ とおくと，

$X^2+Y^2=a^2+1$ かつ「 $X=a$ または $X=2$ 」となる $(x，y)$ の個数

を求めれば良い．ここで円 $X^2+Y^2=a^2+1$ と直線 $X=a$ は必ず異なる $2$ 点で交わる．また，円 $X^2+Y^2=a^2+1$ と直線 $X=2$ は $a^2\gt 3$ で異なる $2$ 点で交わり， $a^2=3$ で接し， $a^2\lt 3$ で交わらないことに注意すると，

(i) $0\leqq a^2\lt 3$ または $a=2$ のとき： $N(a)=2$ ，
(ii) $a^2=3$ のとき： $N(a)=3$ ，
(iii) $a^2\gt 3$ かつ $a\neq 2$ のとき： $N(a)=4$

となる．

この考え方から，点 $(x_0，y_0)$ と直線 $ax+by=c$ （ $a^2+b^2\neq 0$ ）の距離は，座標系を回転して $X=\dfrac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $Y=\dfrac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}}$ とおくと，点 $\left(\dfrac{ax_0+by_0}{\sqrt{a^2+b^2}}，\dfrac{bx_0-ay_0}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ と直線 $X=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ との距離 $\left|\dfrac{ax_0+by_0}{\sqrt{a^2+b^2}}-\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$ $=\dfrac{|ax_0+by_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ に等しいことがわかります．