https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Rikei

2026.03.18.記

[2] 空間内に $4$ 点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ があり， $\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1$ である．また， $\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{AOC}=90^{\circ}$ ， $\angle\mbox{BOC}=60^{\circ}$ である． $t$ を正の実数とし，点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ は $\overrightarrow{\mbox{OD}}=t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OE}}=(2t + 1)\overrightarrow{\mbox{OC}}$ をみたす点とする．点 $\mbox{P}$ は $\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=-1$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=1$ をみたしていて，さらに $4$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{P}$ は同一平面上にある． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおく．

(1) $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ を $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ と $t$ を用いて表せ．

(2) 実数 $t$ が $t\gt 0$ の範囲を動くとき， $|\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ を最小にする $t$ の値と， $|\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ の最小値を求めよ．

2026.03.20.13:25:06記
定ベクトルと内積が一定である点はある平面上にあるので， $\mbox{P}$ は二平面の交線である直線上にあります．直角が多いので座標で処理しましょう．

[解答]
(1) $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1，0)$ ， $\mbox{C}\left(0，\dfrac{1}{2}，\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ とおくことができる． $\mbox{P}(X，Y，Z)$ とおくと， $\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=-1$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=1$ から $X=-1$ ， $Y=1$ となり，よって $\mbox{P}(-1，1，Z)$ となる．

$\mbox{D}(0，t，0)$ ， $\mbox{E}\left(0，\dfrac{2t+1}{2}，\dfrac{\sqrt{3}(2t+1)}{2}\right)$ であり，直線 $\mbox{AP}$ と線分 $\mbox{DE}$ が交わることから
$(1-\alpha，0，0)+(-\alpha，\alpha，\alpha Z)$
$=(0，\beta t，0)+\left(0，\dfrac{2t+1}{2}(1-\beta)，\dfrac{\sqrt{3}(2t+1)}{2}(1-\beta)\right)$ …①，
つまり
$(1-2\alpha，\alpha，\alpha Z)$ $=\left(0，\dfrac{2t+1-\beta}{2}，\dfrac{\sqrt{3}(2t+1)}{2}(1-\beta)\right)$ ，
を満たす $\alpha，\beta$ が存在し，よって $x，y$ 座標を比較して $\alpha=\dfrac{1}{2}$ ， $\beta=2t$ となる．
このとき $z$ 座標から $Z=\sqrt{3}(1-4t^2)$ …②となる．

①から $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OA}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OP}}$ $=2t\overrightarrow{\mbox{OD}}+(1-2t)\overrightarrow{\mbox{OE}}$ $=2t^2\overrightarrow{\mbox{OB}}+(1-4t^2)\overrightarrow{\mbox{OC}}$
となり，
$\overrightarrow{\mbox{AP}}$ $=-2\overrightarrow{\mbox{OA}}+4t^2\overrightarrow{\mbox{OB}}+2(1-4t^2)\overrightarrow{\mbox{OC}}$ $=-2\vec{a}+4t^2\vec{b}+2(1-4t^2)\vec{c}$
となる．

(2) ②から $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ $=\left(-2，1，\sqrt{3}(1-4t^2)\right)$ となるので，
$|\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ $=\sqrt{5}+3(1-4t^2)^2$ は $t=\dfrac{1}{2}$ のときに最小値 $\sqrt{5}$ をとる．

ベクトルのままで処理をしてみましょう．あまり見掛けないかも知れませんが，ベクトルにおける切片方程式を利用します．

[解答]
(1) $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ ， $\vec{a}\bullet\vec{b}=\vec{a}\bullet\vec{c}=0$ ， $\vec{b}\bullet\vec{c}=\dfrac{1}{2}$ である．

$\mbox{P}(\vec{p})$ とおき， $\vec{p}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=-1$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OP}}=1$ から $\alpha=-1$ …①， $\beta+\dfrac{\gamma}{2}=1$ …②
が成立する．

$\mbox{P}$ が平面 $\mbox{ADE}$ 上にあることから $\dfrac{\alpha}{1}+\dfrac{\beta}{t}+\dfrac{\gamma}{2t+1}=1$ …③が成立するので，①②③から $\alpha=-1$ ， $\beta=4t^2$ ， $\gamma=2(1-4t^2)$ となる．

よって $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ $=-\vec{a}+\vec{p}$ $=-2\vec{a}+4t^2\vec{b}+2(1-4t^2)\vec{c}$ となる．

(2) $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ $=-2\vec{a}+2\vec{c}+4t^2(\vec{b}-2\vec{c})$ の右辺は $t$ が変化すると方向ベクトルが $\vec{b}-2\vec{c}$ の直線を動くので， $(\vec{b}-2\vec{c})\perp\vec{b}$ に注意すると， $|\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ は $\overrightarrow{\mbox{AP}}\parallel \vec{b}$ のときに最小となる．よって $t=\dfrac{1}{2}$ のときに最小値 $|\overrightarrow{\mbox{AP}}|=|-2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5}$ をとる．

$|\overrightarrow{\mbox{AP}}|^2$ $=4+16t^4+4(1-4t^2)^2+2\cdot 4t^2\cdot 2(1-4t^2)\cdot \dfrac{1}{2}$ $=3(4t^2-1)^2+5$ と変形しても良いでしょう．