https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Rikei

2026.03.18.記

[1] 座標平面において， $y=x-x^3$ で表される曲線を $C$ とする．実数 $s$ に対して， $C$ 上の点 $(s，s-s^3)$ における $C$ の接線を $\ell_s$ で表す． $t$ を $0\lt t\lt 1$ をみたす実数とするとき， $\ell_0$ と $\ell_1$ の交点を $\mbox{P}$ ， $\ell_0$ と $\ell_t$ の交点を $\mbox{Q}$ ， $\ell_t$ と $\ell_1$ の交点を $\mbox{R}$ とし，三角形 $\mbox{PQR}$ の面積を $S(t)$ とする．

(1) $S(t)$ を $t$ の式で表せ．

(2) 実数 $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき， $S(t)$ を最大にする $t$ の値と， $S(t)$ の最大値を求めよ．

2026.03.20.11:38:39記
2026年(令和8年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR にもありますが，平面上の3直線で囲まれた部分の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II を用いると瞬殺です．

[大人の解答]
(1) $l_0:\, y=x$ ， $l_t:\, y=(1-3t^2)x+2t^3$ ， $l_1:\, y=-2x+2$ で囲まれた三角形の面積は
$l_0:\, y=0$ ， $l_t:\, y=-3t^2x+2t^3$ ， $l_1:\, y=-3x+2$
で囲まれた三角形の面積に等しく
$S(t)=\dfrac{(-6t^2+6t^3)^2}{2\cdot 3t^2\cdot 3 \cdot 3(1-t^2)}$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{t^2(1-t)}{1+t}$
である．

(2) $S'(t)=-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{-2t(t^2+t-1)}{(t+1)^2}$ の増減表から $t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ のときに最大となり，いわゆる安田の公式から， $t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ のとき $t^2+t-1$ に注意して
$S(t)=\dfrac{2}{3}\cdot (2t-3t^2)=\dfrac{2}{3}\cdot (2t-3(1-t))=\dfrac{1}{3}\cdot (5(2t)-6)=\dfrac{5\sqrt{5}-11}{3}$
となる．よって $S(t)$ は $t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ のときに最大値 $\dfrac{5\sqrt{5}-11}{3}$ をとる．

三角形の面積は，高校入試で必須の「(幅)×(縦の長さ)÷2」を使いましょう．この公式には受験業界に共通の名前がなさそうなので表現が難しい（三次関数の「2×4の箱」も同じくです）．

[解答]
(1) $l_0:\, y=x$ ， $l_t:\, y=(1-3t^2)x+2t^3$ ， $l_1:\, y=-2x+2$ の $3$ 交点は
$\left(\dfrac{2}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{2t}{3}，\dfrac{2t}{3}\right)$ ，
$\left(\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}，\dfrac{-2(2t^2-t-1)}{3(t-1)}\right)$
であるから，三角形の面積は
$S(t)=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2t}{3}\right|\cdot \left|\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}-\dfrac{-2(2t^2-t-1)}{3(t+1)}\right|$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2(1-t)}{3}\cdot \dfrac{2t^3}{t+1}$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{t^2(1-t)}{t+1}$
となる．

$3$ 交点のうち $\left(\dfrac{2}{3}，\dfrac{2}{3}\right)$ を始点とする残りの $2$ 点の位置ベクトルが
$\dfrac{2(t-1)}{3}(1，1)$ ， $\dfrac{2t^2}{3(t+1)}(1，-2)$
となることから
$S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2(t-1)}{3}\cdot \dfrac{2t^2}{3(t+1)} |1\cdot(-2)-1\cdot 1|$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2(t-1)}{3}\cdot \dfrac{2t^2}{3(t+1)} |1\cdot(-2)-1\cdot 1|$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{t^2(1-t)}{t+1}$
としても良いでしょう．