2026年(令和8年)大阪大学-数学(理系)

[1] 座標平面において， で表される曲線を とする．実数 に対して， 上の点 における の接線を で表す． を をみたす実数とするとき， と の交点を ， と の交点を ， と の交点を とし，三角形 の面積を とする．

(1) を の式で表せ．

(2) 実数 が の範囲を動くとき， を最大にする の値と， の最大値を求めよ．

[2] 空間内に 点 ，，， があり， である．また，， である． を正の実数とし，点 ， は ， をみたす点とする．点 は ， をみたしていて，さらに 点 ，，， は同一平面上にある．，， とおく．

(1) を ，， と を用いて表せ．

(2) 実数 が の範囲を動くとき， を最小にする の値と， の最小値を求めよ．

[3] を実数とし，複素数 に対して

とする．ただし， は虚数単位， は と共役な複素数である．

(1) は実数であることを示せ．

(2) 実数 に対して， かつ

となるような複素数 の個数を とする． を求めよ．

[4] 実数 に対して とする．ただし， は自然対数の底である．

(1) のとき，不等式 が成り立つことを示せ．

(2) をみたす実数 に対して

とするとき， を求めよ．

[5] さいころ 個を 回連続して投げ， 回目に出た目を ， 回目に出た目を ， 回目に出た目を とする．このとき，，， のなかで最大の数を とおき， とおく．

(1) であって， が整数である確率を求めよ．

(2) であって， が整数である確率を求めよ．

(3) が偶数であったとき， が整数である条件つき確率を求めよ．