https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Bunkei

2026.03.18.12:03:15記

[3] $a$ を正の実数とする．関数 $f(x)=4ax^3+\dfrac{1-a}{a}-6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ の $0\leqq x\leqq 1$ における最小値が正となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

2026.03.20.19:26:13記
$f'(x)=12ax^2-6[(x^2+x)-\{(x-1)^2+(x-1)\}]$ $=12ax^2-12x=12x(ax-1)$ となりますが，結局 $f(x)$ が必要であり，積分部分を $0$ にする $x$ の値がないことから，素直に積分を実行しても手間は変わりません．

[解答]
$6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ $=\Bigl[ 2t^3+3t^2\Bigr]_{x-1}^x$
$=2(3x^2-3x+1)+3(2x-1)=6x^2-1$ により， $f(x)=4ax^3-6x^2+\dfrac{1}{a}$ となる．

(i) $0\lt a\leqq 1$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ となる．

(i) $1\lt a$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{a}$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{a-2}{a^2}$	$\nearrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $2\lt a$ となる．

以上から， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となる．

端点と極値が最小値の候補と考えると，

$f(0)=\dfrac{1}{a}$ （これは $a\gt 0$ で正），
$f(1)=4a+\dfrac{1}{a}-6=\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$ （これは $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\lt a$ で正），
$f\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-2}{a^2}$
（極小値が変域内に入る条件は $a\gt 1$ ，最小値が正となるのは $a\gt 2$ だから $a\gt 1$ ）
となり，求める $a$ の範囲が $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となることがわかります．