https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2026/Bunkei

2026.03.18.12:03:15記

[1] 正の実数の列 $\{a_n\}$ が次の条件によって定められている．
$a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_{n+2}=\dfrac{3^na_{n+1}^2}{a_n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

(1) $b_n=\log_2 a_{n+1}-\log_2 a_{n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）と定めるとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

2026.03.20.記

[解答]
(1) $\log_2 a_{n+2}=2\log_2 a_{n+1} -\log_2a_n+n\log_2 3$ であるから，
$b_1=1$ ， $b_{n+1}-b_n+n\log _2 3$
となるので， $b_n=1+\dfrac{(n-1)n}{2}\log_2 3$ となる．

(2) $\log_2 a_n$ $=\log_2 1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \left(1+\dfrac{(k-1)k}{2}\log_2 3\right)$ $=0+(n-1)+\dfrac{(n-2)(n-1)n}{6}\log_2 3$ （ $n=1$ でも成立）であるから， $a_n=2^{n-1}\cdot 3^{\tfrac{(n-2)(n-1)n}{6}}$ となる．