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2025.03.10記

[5] 投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ $\displaystyle\dfrac{1}{2}$ のコインがある．A，B，Cの3文字をBACのように1個ずつすべて並べて得られる文字列に対して，コインを投げて次の操作を行う．

・表が出たら文字列の左から1文字目と2文字目を入れかえる．

・裏が出たら文字列の左から2文字目と3文字目を入れかえる．

例えば，文字列がBACであるときに，2回続けてコインを投げて表，裏の順に出たとすると，文字列はBACからABCを経てACBとなる．

最初の文字列はABCであるとする．コインを $n$ 回続けて投げたあとの文字列がABCである確率を $p_n$ とし，BCAである確率を $q_n$ とする．

(1) $k$ を正の整数とするとき， $p_{2k}-q_{2k}$ を求めよ．

(2) $n$ を正の整数とするとき， $p_n$ を求めよ．

本問のテーマ

置換の符号

2025.03.10記
$n$ が奇数のときは ABC の奇置換である ACB，CBA，BAC のいずれかとなり， $n$ が偶数のときは ABC の偶置換である ABC，BCA，CAB のいずれかとなる．よって $n$ が奇数のとき $p_n=0$ となることが直ちにわかる．

[解答]
(1) $n$ が偶数のとき，ABC，BCA，CAB のいずれかとなり， $n$ が奇数のとき，ACB，CBA，BAC のいずれかとなる．そこでコインを $n$ 回続けて投げたあとの文字列がCABである確率を $r_n$ とおく．また $p_{2n}=P_n$ ， $q_{2n}=Q_n$ ， $r_{2n}=R_n$ とおく．

このとき2回コインを投げた後に自分自信に戻る確率は $\dfrac{1}{2}$ ，残り2つのいずれかとなる確率は $\dfrac{1}{4}$ ずつであるから
$P_{n+1}=\dfrac{1}{2}P_n+\dfrac{1}{4}Q_n+\dfrac{1}{4}R_n$ ，
$Q_{n+1}=\dfrac{1}{4}P_n+\dfrac{1}{2}Q_n+\dfrac{1}{4}R_n$ ，
$R_{n+1}=\dfrac{1}{4}P_n+\dfrac{1}{4}Q_n+\dfrac{1}{2}R_n$
が成立する．このとき
$P_{n+1}-Q_{n+1}=\dfrac{1}{4}(P_n-Q_n)=\dfrac{1}{4^n}(P_1-Q_1)$ $=\dfrac{1}{4^n}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)$ $=\dfrac{1}{4^{n+1}}$
である．よって $p_{2k}-q_{2k}=\dfrac{1}{4^k}$ となる．

対称性により， $Q_n=R_n$ であるから $p_{2k}+2q_{2k}=1$ となり，
$p_{2k}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3\cdot 4^k}$ となる．

以上から， $n$ が奇数のとき $p_n=0$ ， $n$ が偶数のとき $p_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}$ となる．