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2025.03.10記

[4] 次の問いに答えよ．

(1) $t\gt 0$ のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx\lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ．

(2) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx=0$ を示せ．

(3) $\displaystyle f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ とおく．
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_1^t\dfrac{f(x)}{x}\, dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
を示せ．

2025.03.10記

[解答]
(1) $t\gt 0$ のとき
$\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{-1}{x^2}\, dx\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{1}{x^2}\, dx$
により
$-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{2t}\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx\lt\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2t}$
が成立する．ここで $\dfrac{1}{2t}\gt 0$ より
$-\dfrac{1}{t}\lt -\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{2t}\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx\lt\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2t}\lt \dfrac{1}{t}$
となる．

(2) $\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx$
$=\Bigl[-\dfrac{\sin x}{x}\Bigr]_t^{2t}+\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
$=\dfrac{\sin t}{t}-\dfrac{\sin 2t}{2t}+\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
により
$-\dfrac{1}{t}-\dfrac{\sin t}{t}+\dfrac{\sin 2t}{2t}\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ $\lt\dfrac{1}{t}-\dfrac{\sin t}{t}+\dfrac{\sin 2t}{2t}$
が成立する． $t\to+\infty$ で
$-\dfrac{1}{t}-\dfrac{\sin t}{t}+\dfrac{\sin 2t}{2t}\to 0-0+0=0$ ， $\dfrac{1}{t}-\dfrac{\sin t}{t}+\dfrac{\sin 2t}{2t}\to 0-0+0=0$
であるから，はさみうちの原理により $t\to+\infty$ で
$\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx \to 0$
となる．

(3) $f(x)=\dfrac{1}{2}(\cos x-\cos 2x)$ であるから，
$\displaystyle\int_1^t\dfrac{f(x)}{x}\, dx$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t\dfrac{\cos x-\cos 2x}{x}\, dx$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t\dfrac{\cos 2x}{x}\, dx$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_2^{2t}\dfrac{\cos u}{u/2}\, \dfrac{du}{2}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_2^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
$\to \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2\dfrac{\cos x}{x}\, dx$ （ $t\to+\infty$ ）
となる．

$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とすると，
$\displaystyle\int_1^t f(x)\,dx-\displaystyle\int_2^{2t} f(x)\,dx$ $=\{F(t)-F(1)\}-\{F(2t)+F(2)\}$ $=\{F(2)-F(1)\}-\{F(2t)+F(t)\}$ $=\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx-\displaystyle\int_t^{2t} f(x)\,dx$
となる．