https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2025/Rikei

2025.03.10記

[3] 座標空間に3点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(0，1，1)$ ， $\mbox{P}(x，y，0)$ がある． $\angle\mbox{OAP}={30}^\circ$ かつ $y\geqq0$ を満たすように点 $\mbox{P}$ が動くとき， $(x+1)(y+1)$ の最大値と最小値を求めよ．

2025.03.10記
$\rm P$ は円錐面と $xy$ 平面の切り口である2次曲線上にある．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{AO}}=(0，-1，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AP}}=(x，y-1，-1)$ であるから $\cos\angle\mbox{OAP}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AO}}\bullet \overrightarrow{\mbox{AP}}}{|\overrightarrow{\mbox{AO}}|\,|\overrightarrow{\mbox{AP}}|}$ $=\dfrac{2-y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y-1)^2+1}}$
が成立する．整理して
$x^2+\dfrac{(y+1)^2}{3}=1$
となる（この楕円上の点は $y\leqq 2$ を満たす）．

$x=\cos\theta$ ， $y=\sqrt{3}\sin\theta-1$ とおくと $y\geqq 0$ により $\sin\theta\geqq\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ であり，このとき
$f(\theta)=(x+1)(y+1)=\sqrt{3}(\cos\theta+1)\sin\theta$
において
$f'(\theta)=\sqrt{3}(-\sin^2\theta+\cos^2\theta+\cos\theta)$ $=\sqrt{3}(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$
だから， $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ なる鋭角 $\alpha$ を用いて増減表は次表：

$\theta$	$\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi-\alpha$
$f'$		$+$	$0$	$-$
$f$	$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$	$\nearrow$	$\dfrac{9}{4}$	$\cdots$	$\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

よって最大値は $\dfrac{9}{4}$ ，最小値は $\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ $＝\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$ となる．