https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2025/Rikei

2025.03.10記

[2] $p$ と $m$ を実数とし，関数 $f(x)=x^3+3px^2+3mx$ は $x=\alpha$ で極大値をとし， $x=\beta$ で極小値をとるとする．

(1) $f(\alpha)-f(\beta)$ を $p$ と $m$ を用いて表せ．

(2) $p$ と $m$ が $f(\alpha)-f(\beta)=4$ を満たしながら動くとき，曲線 $y=f(x)$ の変曲点の軌跡を求めよ．

2025.03.10記

[解答]
(1) $f'(x)=3x^2+6px+3m$ の2つの異なる実数解が $\alpha，\beta$ （ $\alpha\lt \beta$ ）であるから，
$f'(x)=0$ の判別式 $4(p^2-m)\gt 0$ であり， $\alpha=-p-\sqrt{p^2-m}$ ， $\beta=-p+\sqrt{p^2-m}$ である．

よって
$f(\alpha)-f(\beta)=\displaystyle\int_\beta^\alpha f'(x)\,dx$
$=\displaystyle\int_\beta^\alpha 3(x-\alpha)(x-\beta)f'(x)\,dx$
$=\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)^3$ $=4(p^2-m)^{3/2}$
となる．

(2) $f(\alpha)-f(\beta)=4$ （， $p^2-m\gt 0$ ）により $p^2-m=1$ であるから任意の実数 $p$ に対して $p^2-m=1$ を満たす実数 $m=p^2-1$ が存在し， $f(x)$ には極大値と極小値が存在してその差は4となる．

$f''(x)=6x+6p$ で $f''(x)$ は $x=-p$ の前後で負から正へと符号を変化させるので $(-p，f(-p))$ は変曲点である． $f(-p)=-p^3+3p\cdot p^2-3(p^2-1)\cdot p=-p^3+3p$ であり， $p$ は実数全体をとり得るので求める軌跡は $y=-x^3+3x$ 全体となる．