https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2025/Rikei

2025.03.10記

[1] 平面上の三角形 $\mbox{OAB}$ を考える． $\angle\mbox{AOB}$ は鋭角， $\mbox{OA}=3$ ， $\mbox{OB}=t$ とする．また，点 $\mbox{A}$ から直線 $\mbox{OB}$ に下ろした垂線と直線 $\mbox{OB}$ の交点を $\mbox{C}$ とし， $\mbox{OC}=1$ とする．線分 $\mbox{AB}$ を $2:1$ に内分する点を $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{A}$ から直線 $\mbox{OP}$ に下ろした垂線と直線 $\mbox{OB}$ との交点を $\mbox{R}$ とする．

(1) 内積 $\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ を $t$ を用いて表せ．

(2) 線分 $\mbox{OR}$ の長さを $t$ を用いて表せ．

(3) 線分 $\mbox{OB}$ の中点を $\mbox{M}$ とする．点 $\mbox{R}$ が線分 $\mbox{MB}$ 上にあるとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．

2025.03.10記

[解答]
$\mbox{O}(0，0)$ ， $\mbox{A}(1，2\sqrt{2})$ ， $\mbox{B}(t，0)$ （ $t\gt 0$ ）， $\mbox{C}(1，0)$ とおくことができる．

(1) $\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ $=1\cdot t+2\sqrt{2}\cdot 0=t$ である．

(2) $\mbox{P}\left(\dfrac{1+2t}{3}，\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ であるから $\rm OP$ の傾きは $\dfrac{2\sqrt{2}}{1+2t}$ だから直線 $\rm AR$ の方程式は $y=\dfrac{1+2t}{2\sqrt{2}}(x-1)+2\sqrt{2}$ となるので $\mbox{R}\left(\dfrac{9+2t}{1+2t}，0\right)$ となる．

よって $\mbox{OR}=\dfrac{9+2t}{1+2t}$ となる．

(3) $\mbox{M}\left(\dfrac{t}{2}，0\right)$ より $\dfrac{t}{2}\leqq \dfrac{9+2t}{1+2t}\leqq t$ であり， $t\gt 0$ より $1+2t\gt 0$ であるから
$t(1+2t)\leqq 4t+18\leqq 2t(1+2t)$
となる．

$t(1+2t)\leqq 4t+18$ を解くと $2t^2-3t-18\leqq 0$ から $\dfrac{3-3\sqrt{17}}{4}\leqq t\leqq \dfrac{3+3\sqrt{17}}{4}$ となり， $4t+18\leqq 2t(1+2t)$ を解くと $2t^2-t-9\geqq 0$ から $t\gt 0$ に注意すると $\dfrac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t$ となるので求める範囲は $\dfrac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\leqq\dfrac{3+3\sqrt{17}}{4}$ となる．

[別解]
(3) $\overrightarrow{\rm OR}$ $=\dfrac{2t+9}{t(1+2t)}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ $=\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{8}{t(1+2t)}\right)\overrightarrow{\rm OB}$ であり，
$\dfrac{1}{t}+\dfrac{8}{t(1+2t)}$ は $t\gt 0$ について単調減少であるから
$\dfrac{2t+9}{t(1+2t)}=1$ となる $t\gt 0$ を $\alpha$ ，
$\dfrac{2t+9}{t(1+2t)}=\dfrac{1}{2}$ となる $t\gt 0$ を $\beta$
とおくと $\alpha\leqq t\leqq \beta$ が成立する．
$\dfrac{2\alpha+9}{\alpha(1+2\alpha)}=1$ ，つまり $2\alpha^2-\alpha-9=0$ （ $\alpha\gt0$ ）から $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{73}}{4}$ であり，
$\dfrac{2\beta+9}{\beta(1+2\beta)}=\dfrac{1}{2}$ ，つまり $2\beta^2-3\beta-18=0$ （ $\beta\gt0$ ）から $\beta=\dfrac{3+3\sqrt{17}}{4}$ であるから，求める範囲は $\dfrac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\leqq\dfrac{3+3\sqrt{17}}{4}$ となる．