https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2025/Rikei

2025.03.10記

[1] 平面上の三角形 $\mbox{OAB}$ を考える． $\angle\mbox{AOB}$ は鋭角， $\mbox{OA}=3$ ， $\mbox{OB}=t$ とする．また，点 $\mbox{A}$ から直線 $\mbox{OB}$ に下ろした垂線と直線 $\mbox{OB}$ の交点を $\mbox{C}$ とし， $\mbox{OC}=1$ とする．線分 $\mbox{AB}$ を $2:1$ に内分する点を $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{A}$ から直線 $\mbox{OP}$ に下ろした垂線と直線 $\mbox{OB}$ との交点を $\mbox{R}$ とする．

(1) 内積 $\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ を $t$ を用いて表せ．

(2) 線分 $\mbox{OR}$ の長さを $t$ を用いて表せ．

(3) 線分 $\mbox{OB}$ の中点を $\mbox{M}$ とする．点 $\mbox{R}$ が線分 $\mbox{MB}$ 上にあるとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] $p$ と $m$ を実数とし，関数 $f(x)=x^3+3px^2+3mx$ は $x=\alpha$ で極大値をとし， $x=\beta$ で極小値をとるとする．

(1) $f(\alpha)-f(\beta)$ を $p$ と $m$ を用いて表せ．

(2) $p$ と $m$ が $f(\alpha)-f(\beta)=4$ を満たしながら動くとき，曲線 $y=f(x)$ の変曲点の軌跡を求めよ．

[3] 座標空間に3点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(0，1，1)$ ， $\mbox{P}(x，y，0)$ がある． $\angle\mbox{OAP}={30}^\circ$ かつ $y\geqq0$ を満たすように点 $\mbox{P}$ が動くとき， $(x+1)(y+1)$ の最大値と最小値を求めよ．

[4] 次の問いに答えよ．

(1) $t\gt 0$ のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\sin x}{x^2}\, dx\lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ．

(2) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_t^{2t}\dfrac{\cos x}{x}\, dx=0$ を示せ．

(3) $\displaystyle f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ とおく．
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_1^t\dfrac{f(x)}{x}\, dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2\dfrac{\cos x}{x}\, dx$
を示せ．