https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2025/Bunkei

2025.03.10記

[3] 座標平面において， $y=x^2-1$ で表される放物線を $C$ とする． $C$ 上の点 $\mbox{P}$ における $C$ の接線を $\ell$ とする．ただし，点 $\mbox{P}$ は $y$ 軸上にはないものとする． $\mbox{O}$ を原点とし，放物線 $C$ と線分 $\mbox{OP}$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ ，放物線 $C$ と接線 $\ell$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする． $S-T$ の最大値を求めよ．

2025.03.10記

[大人の解答]
対称性により $\rm P$ の $x$ 座標を $p$ とおくと $p\geqq 0$ として良い．
$\mbox{P}(p，p^2-1)$ とおくと接線の方程式は
$y=2p(x-p)+p^2-1=2px-p^2-1$
であるから， $\ell$ と $y$ 軸の交点の座標は $(0，-p^2-1)$ である．

よって
$dS=\dfrac{1}{2}|p\cdot 2pdp-dp(p^2-1)|=\dfrac{1}{2}(p^2+1)dp$ ， $dT=\dfrac{1}{2}|2pdp\cdot p|=p^2dp$
であるから，
$d(S-T)=\dfrac{1}{2}(1-p^2)dp$
となり， $p\geqq 0$ では $p=1$ のときに極大かつ最大となる．

このとき $S=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot 1+\dfrac{1}{6}$ ，
$T=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1-\dfrac{1}{6}$ であるから
$S-T=\dfrac{1}{3}$ となる．

[解答]
対称性により $\rm P$ の $x$ 座標を $p$ とおくと $p\geqq 0$ として良い．
$\mbox{P}(p，p^2-1)$ とおくと接線の方程式は
$y=2p(x-p)+p^2-1=2px-p^2-1$
であるから， $\ell$ と $y$ 軸の交点の座標は $(0，-p^2-1)$ である．

このとき，1/6公式と三角形の面積とから
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot p+\dfrac{p^3}{6}$ ， $T=\dfrac{1}{2}p^3-\dfrac{p^3}{6}$
であるから
$S-T=-\dfrac{p^3}{6}+\dfrac{p}{2}$
となる．これを $f(p)$ とおくと
$f'(p)=-\dfrac{1}{2}(p+1)(p-1)$
となるので，増減表（省略）から $f(p)$ は $p=1$ で極大かつ最大となる．

よって $S-T$ の最大値は $f(1)=\dfrac{1}{3}$ となる．