2025年(令和7年)大阪大学-数学(文系)

[1] 平面上の三角形 を考える． は鋭角， ， とする．また，点 から直線 に下ろした垂線と直線 の交点を とし， とする．線分 を に内分する点を ，点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする．

(1) 内積 を を用いて表せ．

(2) 線分 の長さを を用いて表せ．

(3) 線分 の中点を とする．点 が線分 上にあるとき， のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] 次の条件によって定められる数列 がある．
， （ ）

(1) 正の整数 に対して

が成り立つことを示せ．

(2) 正の整数 に対して

が成り立つことを示せ．

[3] 座標平面において， で表される放物線を とする． 上の点 における の接線を とする．ただし，点 は 軸上にはないものとする． を原点とし，放物線 と線分 および 軸で囲まれた図形の面積を ，放物線 と接線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする． の最大値を求めよ．