https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Rikei

2025.03.10記

[4] $a\gt 1$ とする． $xy$ 平面において，点 $(a，0)$ を中心とする半径1の円を $C$ とする．

(1) 円 $C$ の $x \geqq a$ の部分と $y$ 軸および2直線 $y=1$ ， $y=-1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V_1$ を求めよ．

(2) 円 $C$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V_2$ とする．(1)における $V_1$ について， $V_1=2V_2$ となる $a$ の値を求めよ．

本問のテーマ

扇形の重心
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理

2025.03.10記（19:54:05）
扇形の重心 - 球面倶楽部零八式 mark II

[大人の解答]
(1) 回転させる半円の重心の $x$ 座標は $a+\dfrac{4}{3\pi}$ だから求める体積は円柱と半円を回転させた部分に分けることによって
$V_1=2\pi a^2 + 2\pi\left(a+\dfrac{4}{3\pi}\right)\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=2\pi a^2+\pi^2 a+\dfrac{4}{3}\pi$
となる．

(2) $V_2=2\pi a\cdot \pi=2\pi^2 a$ だから $V_1=2V_2$ より
$2 a^2-3\pi a+\dfrac{4}{3}=0$
となり
$a=\dfrac{9\pi\pm\sqrt{81\pi^2-96}}{12}$
となる．ここで
$\dfrac{9\pi+\sqrt{81\pi^2-96}}{12}\gt \dfrac{9\pi}{12}\gt \dfrac{27}{12}\gt 1$
であり， $9\gt \pi^2$ より $96\lt 99\lt 11\pi^2\lt 17\pi^2$ だから
$\dfrac{9\pi-\sqrt{81\pi^2-96}}{12}\lt\dfrac{9\pi-\sqrt{81\pi^2-17\pi^2}}{12}=\dfrac{\pi}{12}\lt 1$
であるから， $a\gt 1$ より
$a=\dfrac{9\pi+\sqrt{81\pi^2-96}}{12}$
となる．