https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Rikei

2025.03.10記

[3] 空間内の2直線 $\ell，m$ はねじれの位置にあるとする． $\ell$ と $m$ の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ．

2025.03.10記（19:21:30）
何を書けば良いか良くわからない問題．

[解答]
直線 $\ell，m$ はねじれの位置にあるとする．

$m$ に平行で $\ell$ と交わる直線と $l$ を含む平面を $\pi_\ell$ とし， $m$ を $\pi_\ell$ に正射影した直線を $m'$ とすると， $\ell$ と $m'$ の交点は唯一であり，これを $\rm P$ とする．

このとき，直線 $\ell$ を通り $m$ に垂直（交わるとは限らない）な直線は $\ell$ を通り $\pi_\ell$ に垂直な直線であるが，その直線と $m$ が交わるのは，その直線が $\rm P$ を通るときに限るので， $\ell$ と $m$ の両方に直交する直線がただ1つ存在する．

少し計算の要素を入れてみた．

[別解]
直線 $\ell，m$ はねじれの位置にあるとする．

このとき $\ell，m$ の両方に平行な平面は全て互いに平行となる．これら平面のうち $\ell$ を含むものを $\pi_\ell$ ， $m$ を含むものを $\pi_m$ とする．ここで適当に拡大や回転，鏡映対称を行なうことによって $\pi_\ell$ が $xy$ 平面で $\ell$ が $x$ 軸， $\pi_m$ が平面 $z=1$ となるように座標系を選ぶことができる．このとき $m$ の方程式は，ある実数 $a，b，u，v$ （ $u^2+v^2=1，u\geqq 0，v\gt 0$ ）を用いて
$(x，y，z)=(a，b，1)+t(u，v，0)$ （ $t\in\mathbb{R}$ ）
と書くことができる（ $v\neq 0$ は直線 $\ell，m$ がねじれの位置にある条件）．

ここで $\ell$ に垂直は直線は，ある実数 $c，p，q$ （ $p^2+q^2=1，p\geqq 0，q\geqq 0$ ）を用いて
$(x，y，z)=(c，0，0)+s(0，p，q)$ （ $s\in\mathbb{R}$ ）
と書くことができるので，これと $m$ が垂直となるのは $u\cdot 0+v\cdot p+0\cdot q=vp=0$ のときであり， $v\neq 0$ より $p=0$ である．このとき $q=1$ である．そしてこの直線が $m$ と交わるには
$(a，b，1)+t(u，v，0)=(c，0，0)+s(0，0，1)$
なる $t，s$ が存在するような $c$ でなければならない．成分比較して
$a+tu=c$ ， $b+tv=0$ ， $1=s$
であるから， $t=-\dfrac{b}{v}$ となり， $c=a-\dfrac{bu}{v}$ でなければならず，よって $\ell$ と $m$ の両方に直交する直線は
$(x，y，z)=\left(a-\dfrac{bu}{v}，0，0\right)+s(0，0，1)$ （ $s\in\mathbb{R}$ ）
ただ1つである．