https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Rikei

2025.03.10記

[2] $\alpha，\beta$ を複素数とし，複素数 $z$ に対して $f(z)=z^2+\alpha z+\beta$ とおく． $\alpha，\beta$ は
$|f(1)-3|\leqq1$ かつ $|f(i)-1|\leqq3$
を満たしながら動く．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) $f(1+i)$ がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2) $f(1+i)=0$ であるとき， $\alpha，\beta$ の値を求めよ．

本問のテーマ

図形のミンコフスキー和

2025.03.10記（18:48:53）
$f(1)$ が $3$ 中心半径1の円の周または内部， $f(i)$ が $1$ 中心半径3の円の周または内部を動くときの $f(1+i)$ の通過領域と考えれば，ベクトル的に考えて
$f(1+i)=A\{f(1)-3\}+B\{f(i)-1\}+C$ （ $A〜C$ は複素数）
と表すことができれば， $f(1+i)$ は $C$ 中心半径 $|A|+3|B|$ の円の周または内部を動くことがわかる（図形のミンコフスキー和の考え方）．

[解答]
(1) $f(1)=\alpha+\beta+1$ ， $f(i)=i\alpha+\beta-1$ ， $f(1+i)=(1+i)\alpha+\beta+2i$ であるから
$f(1+i)-f(1)=i\alpha+2i-1$ ， $f(1+i)-f(i)=\alpha+2i+1$
となるので
$if(1+i)-if(1)+f(1+i)-f(i)=-1+i$
となり
$(1+i)f(1+i)-4i=i\{f(1)-3\}+\{f(i)-1\}$
が成立する．この右辺は $|f(1)-3|\leqq1$ かつ $|f(i)-1|\leqq3$ により，原点中心半径 $4$ の円の周または内部を表すので， $(1+i)f(1+i)$ は $4i$ 中心半径 $4$ の円の周または内部を表す．

よって $f(1+i)$ は $\dfrac{4i}{1+i}=2+2i$ 中心半径 $2\sqrt{2}$ の円の周または内部を表す．

(2) $f(1+i)=0$ のとき， $(1+i)f(1+i)-4i=i\{f(1)-3\}+\{f(i)-1\}$ から
$i\{f(1)-3\}+\{f(i)-1\}=-4i$
となるので， $f(1)-3=-1$ ， $f(i)-1=-3i$ となるので
$f(1)=\alpha+\beta+1=2$ ， $f(i)=i\alpha+\beta-1=1-3i$ ，
つまり
$\alpha+\beta=1$ ， $i\alpha+\beta=2-3i$
となる．よって $(1-i)\alpha=-1+3i$ から $\alpha=-2+i$ となり $\beta=3-i$ となる．