https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Rikei

2025.03.10記

[1] 自然数 $n$ に対して，関数 $f_n(x)$ を
$f_n(x)=1-\dfrac{1}{2}e^{nx}+\cos\dfrac{x}{3}$ （ $x\geqq0$ ）
で定める．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) 方程式 $f_n(x)=0$ は，ただ1つの実数解をもつことを示せ．

(2) (1)における実数解を $a_n$ とおくとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ．

(3) 極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n$ を求めよ．

2025.03.10記（17:47:22）
(2)(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n$ を求めよとあるので， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ となる可能性が高い．ここで $n$ が非常に大きいとき， $e^{nx}$ は無茶苦茶大きいので $f_n(x)$ は急激に減少するので $a_n≒0$ となる．このとき $f_n(a_n)≒1-\dfrac{1}{2}e^{na_n}+\cos 0≒0$ と見積もることができるので， $na_n≒\log 4=2\log 2$ と近似できる．

[解答]
(1) $f'_n(x)=-\dfrac{n}{2}e^{nx}-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3}$ $=-\dfrac{1}{6}\left(3ne^{nx}-2\sin\dfrac{x}{3}\right)$
であるが， $x\gt0$ で
$3ne^{nx}\geqq 3n^2\gt 3 \geqq 2\sin \dfrac{x}{3}$
であるから， $f'_n(x)\lt 0$ となり $f_n(x)$ は単調減少である． $f_n(0)=\dfrac{3}{2}$ ， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$ であるから方程式 $f_n(x)=0$ は，ただ1つの実数解をもつ．

(2) $e\gt 2$ であるから，十分大きな $n$ に対して
$f_n\left(\dfrac{2}{n}\right)=1-\dfrac{1}{2}e^2+\cos\dfrac{2}{3n}$ $\lt 1-\dfrac{1}{2}2^2+1=0$
が成立するので
$0\lt a_n\lt\dfrac{2}{n}$
が成立する． $n\to\infty$ で右辺は0に収束するのではさみうちの原理から
$a_n\to 0$ （ $n\to\infty$ ）
となる．

(3) $f_n(a_n)=1-\dfrac{1}{2}e^{na_n}+\cos\dfrac{a_n}{3}$ により
$na_n=\log \left\{2\left(\cos\dfrac{a_n}{3}+1\right)\right\}$ $\to \log \left\{2\left(1+1\right)\right\}$ $=2\log 2$ （ $n\to\infty$ ）
となる．