2024年(令和6年)大阪大学-数学(理系)

[1] 自然数 に対して，関数 を
（ ）
で定める．ただし， は自然対数の底である．

(1) 方程式 は，ただ1つの実数解をもつことを示せ．

(2) (1)における実数解を とおくとき，極限値 を求めよ．

(3) 極限値 を求めよ．

[2] を複素数とし，複素数 に対して とおく． は
かつ
を満たしながら動く．ただし， は虚数単位である．

(1) がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2) であるとき， の値を求めよ．

[3] 空間内の2直線 はねじれの位置にあるとする． と の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ．

[4] とする． 平面において，点 を中心とする半径1の円を とする．

(1) 円 の の部分と 軸および2直線 ， で囲まれた図形を 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 を求めよ．

(2) 円 で囲まれた図形を 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を とする．(1)における について， となる の値を求めよ．

[5] 自然数 のうち， と互いに素であるものの個数を とする．

(1) 自然数 および相異なる素数 に対して，等式

が成り立つことを示せ．

(2) が の約数となる5以上100以下の自然数 をすべて求めよ．