https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Bunkei

2025.03.10記

[3] 素数を小さい順に並べて得られる数列を
$p_1，p_2，\cdots，p_n，\cdots$
とする．

(1) $p_{15}$ の値を求めよ．

(2) $n\geqq12$ のとき，不等式 $p_n\gt 3n$ が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

エラトステネスの篩

2025.03.11記（00:41:47）
(2) エラトステネスの篩から，連続する6個の自然数の中に2または3の倍数が丁度4個含まれるので2とも3とも互いに素なものは丁度2個なので，この中に素数は $6n+1$ 型と $6n+5$ 型の高々2個しか存在しない．よって2個先の素数は少なくとも6以上大きくなるので，十分大きな $n$ について $p_{n+2}\geqq p_n +6$ が成立する．

[解答]
(1) 素数を小さい順に並べると
$2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，…$ となるので $p_{15}=47$ である．

(2) $p_{12}=37\gt 3\cdot 12$ ， $p_{13}=41\gt 3\cdot 13$ より $n=12，13$ で成立する．

ある $p_n\geqq 12$ で $p_n\gt 3n$ が成立するとする．ここで連続6整数の中に2とも3とも互いに素なものは丁度2個存在することに注意すると，
$p_n$ ， $p_n+1$ ， $p_n+2$ ， $p_n+3$ ， $p_n+4$ ， $p_n+5$
の中に2とも3とも互いに素なものは $p_n$ 以外に1つだけ存在し，それが素数であろうとなかろうと
$p_{n+2}\geqq p_n+6\gt 3n+6=3(n+2)$
を満たすので $n+2$ でも成立する．

よって $12$ 以上にすべての自然数 $n$ について $p_n\gt 3n$ が成り立つ．

$n\geqq 2$ で $p_n$ は奇数だから $p_{n+1}\geqq p_n +2$ が成立するので，一旦 $p_n\gt 3n$ を満たせば $p_{n+1}\gt 3n+2$ が成立する．しかし $p_{n+1}=3n+3$ （3の倍数）とはならないので $p_{n+1}\gt 3n+3=3(n+1)$ が成立する，として帰納法で示しても良い．

連続する30個の自然数の中に2，3，5と互いに素なものは $8$ 個なので
$p_{n+8}\geqq p_n+30=p_n+8\cdot\dfrac{15}{4}$
が成立し，
$p_{27}=103\gt 101.25$
$p_{28}=107\gt 105$
$p_{29}=109\gt 108.75$
$p_{30}=113\gt 112.5$
$p_{31}=127\gt 116.25$
$p_{32}=131\gt 120$
$p_{33}=137\gt 123.75$
$p_{34}=139\gt 127.5$
であるから， $n\geqq 27$ に対して $p_n\gt \dfrac{15}{4}n$ が言えることがわかる．