https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Handai/2024/Bunkei

2025.03.10記

[2] 座標空間内の直線 $l$ と $z$ 軸はねじれの位置にあるとする． $l$ と $z$ 軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ．

2025.03.11記（00:00:17）
2024年(令和6年)大阪大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の $m$ が $z$ 軸となっている．

[解答]
直線 $\ell$ と $z$ 軸がねじれの位置にあるとする．図形を $z$ 軸のまわりに回転させて直線 $\ell$ が $yz$ 平面と平行であるようにし，拡大によって直線 $\ell$ が平面 $x=1$ 上にあるようにし，必要ならば $xy$ 平面について対称移動させることによって， $\ell$ の方程式は，ある実数 $a，b，u，v$ （ $u^2+v^2=1，u\gt 0，v\geqq 0$ ）を用いて
$(x，y，z)=(1，a，b)+t(0，u，v)$ （ $t\in\mathbb{R}$ ）
と書くことができる（ $u\neq 0$ は直線 $\ell$ と $z$ 軸がねじれの位置にある条件）．

ここで $z$ 軸に垂直は直線は，ある実数 $c，p，q$ （ $p^2+q^2=1，p\geqq 0，q\geqq 0$ ）を用いて
$(x，y，z)=(0，0，c)+s(p，q，0)$ （ $s\in\mathbb{R}$ ）
と書くことができるので，これと $\ell$ が垂直となるのは $0\cdot p+u\cdot q+v\cdot 0=uq=0$ のときであり， $u\neq 0$ より $q=0$ である．このとき $p=1$ である．そしてこの直線が $m$ と交わるには
$(1，a，b)+t(0，u，v)=(0，0，c)+s(1，0，0)$
なる $t，s$ が存在するような $c$ でなければならない．成分比較して
$1=s$ ， $a+tu=0$ ， $b+tv=c$ ，
であるから， $t=-\dfrac{a}{u}$ となり， $c=b-\dfrac{av}{u}$ でなければならず，よって $\ell$ と $z$ 軸の両方に直交する直線は
$(x，y，z)=\left(0，b-\dfrac{av}{u}，0\right)+s(1，0，0)$ （ $s\in\mathbb{R}$ ）
ただ1つである．