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2024年(令和6年)大阪大学-数学(文系)[1]

2025.03.10記

[1] 曲線 $y=|x^2-1|$ を $C$ ，直線 $y=2a(x+1)$ を $\ell$ とする．ただし， $a$ は $0\lt a\lt 1$ を満たす実数とする．

(1) 曲線 $C$ と直線 $\ell$ の共有点の座標をすべて求めよ．

(2) 曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる $a$ の値を求めよ．

2025.03.10記（23:44:37）

[解答]
(1) $x^2-1=2a(x+1)$ （ $|x|\geqq 1$ ）により $x=-1，2a+1$ ，
$-x^2+1=2a(x+1)$ （ $|x|\leqq 1$ ）により $x=-1，1-2a$
だから共有点は $(-1，0)$ ， $(2a+1，4a^2+4a)$ ， $(1-2a，4a-4a^2)$ となる．

(2) $y=-x^2+1$ と $\ell$ で囲まれた部分の面積を $S$ ，もう片方の部分の面積を $T$ とすると
$S=T$ と「 $y=-x^2+1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積」と「 $y=x^2-1$ と $x$ 軸と $\ell$ で囲まれた部分の面積」が等しいことは同値で，さらに
「 $y=x^2-1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積」の2倍が「 $y=x^2-1$ と $\ell$ で囲まれた部分の面積」に等しいことは同値である．

よって 1/6公式により $\dfrac{2}{6}\cdot 2^3=\dfrac{1}{6}\cdot (2a+2)^3$ となる．よって $a=\sqrt[3]{2}-1$ となり，これは $0\lt a\lt 1$ を満たしている．

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