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2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[5]

2023.11.27記

[5] 1個のさいころを $n$ 回投げて， $k$ 回目に出た目を $a_k$ とする． $b_n$ を
$b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n {a_1}^{n-k}a_k$ により定義し， $b_n$ が7の倍数となる確率を $p_n$ とする．

(1) $p_1$ ， $p_2$ を求めよ．

(2) 数列 $\{ p_n \}$ の一般項を求めよ．

2023.11.27記
サイコロの目が1〜6，7が素数となることがポイントとなる絶妙な問題．

[解答]
(1) $n=1$ のとき， $b_1=a_1{}^0a_1=a_1$ は7の倍数にはならないので， $p_1=0$

$n=2$ のとき， $b_2=a_1{}^1a_1+a_2=a_1^2+a_2$ が 7 の倍数となるのは $(a_1,a_2)=(1,6)，(2,3)，(3,5)，(4,5)，(5,3)，(6,6)$ の6通りだから
$p_1=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

(2) $b_{n+1}$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^n {a_1}^{n+1-k}a_k+a_{n+1}$ $=a_1b_n+a_{n+1}$
である．

よって， $b_n$ が 7 の倍数のとき， $b_{n+1}$ を7で割った余りは $a_{n+1}$ （1から6）だから $b_{n+1}$ は7の倍数にはならない．

また， $b_n$ が 7 の倍数でないとき， $a_1b_n$ も 7の倍数とはならず， $a_1b_n$ を7で割った余りを $r_n$ （は1〜6）とすると， $a_{n+1}=7-r_n$ の場合だけ $b_{n+1}$ が7の倍数となる（ $a_{n+1}$ はただ1通り）．

よって， $p_{n+1}=\dfrac{1-p_n}{6}$ が成立する．ここで $p_0=1$ から
$p_n=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$
となる．

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